$\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\dotsc \sqrt{n}$. Calcular el $\lim_{n\to\infty}\mu/\sigma$

Question

La pregunta es: Hay una colección de números: $\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\dotsc \sqrt{n}$. $\mu$ es su media aritmética o promedio; $\sigma$ es su desviación estándar. Calcular el $$\lim_{n\to\infty}\frac{\mu}{\sigma} = \ ?$$

Creo que de el Teorema del sándwich, pero no sé cómo hacerlo, y tal vez no es la más adecuada forma de solucionarlo. Me puedes ayudar, por favor?

Answer 1

Desde $\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(\sqrt k)^2-\mu^2=\frac{n+1}{2}-\mu^2$, tenemos $$\frac{\mu^2}{\sigma^2}=\frac{1}{\frac{n+1}{2\mu^2}-1}.$$ Por lo tanto, tenemos que calcular el $\mu/\sqrt n$. En que se escribe explícitamente $$\frac{\mu}{\sqrt n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt\frac{k}{n}\to\int_0^1\sqrt x\mathrm dx=\frac{2}{3},$$ por la definición de integral de Riemann.

Por lo tanto, tenemos $\mu^2/\sigma^2\to 1/((9/8)-1)=8$, y el límite es de lo $2\sqrt2$.