Resolver $\lim_{x\to-\infty}x^2\cdot e^x$ con L'Hopital

Question

Utiliza la regla de L'Hopital para resolver:

$$\lim_{x\to-\infty}x^2\cdot e^x$$

Necesito un cociente de infinitos o de ceros. Una forma podría ser esta:

$$\frac{e^x}{x^{-2}} = \frac{0}{0}$$

Así que aplicamos la regla de L'Hopital:

$$\frac{e^x}{-2x^{-3}}$$

Esto no va a funcionar. Vamos a solicitar L'Hopital innumerables veces sin suerte.

Tal vez este arreglo sirva:

$$\frac{x^{2}}{e^{-x}} = \frac{\infty}{0}$$

No.

Tal vez podría utilizar una de las propiedades de los logaritmos naturales. Ya que $e^x = \ln(x)$ Podría haber

$$\frac{x^2}{\ln(-x)} = \frac{\infty}{\infty}$$

¡Genial! Ahora podemos aplicar la regla de L'Hopital:

$$\frac{2x}{\frac{-1}{\ln(-x)}} = \frac{-\infty}{0}$$

Maldita sea. Bueno, tal vez podamos reorganizar esto:

$$\frac{2x}{\frac{-1}{\ln(-x)}} = 2x\cdot -\ln(-x)$$

Entonces,

$$2x\cdot -\ln(-x) = -\infty \cdot -\infty = \infty$$

Al parecer, esto es un error. La respuesta debería ser $0$ .

¿Cuál fue mi error?

Answer 1

El no debería ser un sí. $$ \lim_{x\to-\infty}e^{-x} = \lim_{x\to \infty}e^{x} = \infty $$

Answer 2

$$\lim_{x\to-\infty}x^2\cdot e^x=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{ e^x}$$

Answer 3

$$\lim_{x\to -\infty}e^xx^2=$$ $$\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2}{e^{-x}}=$$ $$\lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}x^2}{\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^{-x}}=$$ $$\lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{-e^{-x}}=$$ $$\lim_{x\to -\infty}-2e^xx=$$ $$-2\left(\lim_{x\to -\infty}e^xx\right)=$$ $$-2\left(\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{e^{-x}}\right)=$$ $$-2\left(\lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}x}{\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^{-x}}\right)=$$ $$-2\left(\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{-e^{-x}}\right)=$$ $$-2\left(\lim_{x\to -\infty}-e^x\right)=$$ $$2\left(\lim_{x\to -\infty}e^x\right)=$$ $$2\left(\exp\left(\lim_{x\to -\infty}x\right)\right)=0$$

Answer 4

$ln(e^x) = x$ no $ln(x) =e^x$ Y efectivamente, el límite es $0$ .

Usted tiene $x^2 e^x = \frac{x^2}{e^{-x}}$ y, aplicando dos veces la regla de l'Hôpital, se obtiene :

$\lim_{x\rightarrow-\infty} x^2 e^x = \lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{2x} {-e^{-x}} = \lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{2} {e^{-x}} = \lim_{x\rightarrow-\infty} 2 e^x = 0 $