Encontrar el límite con tres variables

Question

Aquí está el problema original: $$\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}{(\cos x-1)\sin(2y)(e^{3z}-1)\over x^2yz}$$ Yo estaba pensando acerca de la división hasta el límite como esta: $$\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}{(\cos x-1)\over x^2}\cdot\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}{\sin(2y)\over y}\cdot\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}{e^{3z}-1\over z}$$ Y, a continuación, romper algunos más:$$\lim_{x\to 0}{(\cos x-1)\over x^2}\cdot\lim_{y\to 0}{\sin(2y)\over y}\cdot\lim_{z\to 0}{e^{3z}-1\over z}$$ Y luego quiero usar L'Hospital de la regla. Si alguien puede que me deje saber si me estoy dirigiendo en la dirección correcta o no, eso sería genial. Gracias!

Answer 1

Si todos los límites en vista existe, estás bien.

Answer 2

$$\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}{(\cos x-1)\sin(2y)(e^{3z}-1)\over x^2yz}$$ Yo estaba pensando acerca de la división hasta el límite como esta: $$\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}{(\cos x-1)\over x^2}\cdot\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}{\sin(2y)\over y}\cdot\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}{e^{3z}-1\over z}$$ Y, a continuación, romper algunos más:$$\lim_{x\to 0}{(\cos x-1)\over x^2}\cdot\lim_{y\to 0}{\sin(2y)\over y}\cdot\lim_{z\to 0}{e^{3z}-1\over z}$$ LH regla de la primera parte (-0.5)
Segunda parte, por supuesto le da 2 al multiplicar dividir por 2 y la cancelación de pecado 2y/2y
Tercera parte de nuevo uso de la LH regla para obtener 3.
Se multiplican las tres partes para, finalmente, obtener una RESPUESTA -3

Answer 3

Una forma más de: el uso de la serie de Maclaurin de expansión para las tres funciones en el numerador: $$ \cos x =1+O(x^2)\\ \pecado y = y O+(y^3)\\ e^z=1+O(z) $$

Muchos de los términos se anulan. ¿Se puede manejar desde aquí?