La comprensión de una Solución (la División de los Campos)

Question

Considere el siguiente conjunto:

Tenemos un polinomio $f(x)=x^6+3$. Definir $L$ a ser el simple extensión de $\mathbb{Q}$ definido por $f$.

Yo quiero probar la siguiente afirmación:

Reclamo: L es una división de campo para $f$ $\mathbb{Q}$

Tengo una solución que se ha proporcionado, pero me gustaría ayudar en la comprensión de por qué funciona. Se procede como sigue:

Deje $\alpha$ ser una raíz de $f$ y tenga en cuenta que $\beta=\frac{\alpha+1}{2}$ es una primitiva sexto de la raíz de la unidad. Definir $L=\mathbb{Q}(\alpha)$

Tenga en cuenta que $f$ tiene raíces $\pm\alpha, (\pm\alpha\pm\alpha^4)/2$. Estas raíces son todos distintos, y por lo $L$ es la división de campo.

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Así que tengo dos preguntas principales que vienen de esta solución:

1. ¿Cómo podemos simplemente "nota" que $\beta$ como se define es una primitiva sexto de la raíz de la unidad. Me estoy perdiendo algo aquí? También, más en general, dado un polinomio arbitrario en la forma $x^n+\gamma$, es posible generar raíces primitivas de la unidad en términos de $\gamma$?

2. ¿Cómo sabemos que las raíces tienen esta forma? Yo no puede ver de inmediato por qué estos elementos necesariamente ser raíces. He hecho el álgebra para asegurarse de que son, pero ¿dónde está la comprensión inicial viene?

Gracias

Answer 1

La raíz primitiva de la unidad afirmación parece ser falsa.

Por supuesto, debemos primero mirar $\beta^6$ a ver si se reduce a 1. Pero cuando miré a esto, no parece haber ninguna razón se debe reducir de esa manera.

Así que construí una raíz de f en wolframalpha, es decir,$\alpha=3^{\frac16}(\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6))$, y comprueba para ver si la mitad de 1 más que el número es un 6º de la raíz de la unidad. No parece ser cierto, si esta calculadora es de confianza.

Sin embargo, $\frac{\alpha^3+1}{2}$ es un 6º de la raíz de la unidad, por lo que puede ser un descenso en superíndice. Armado con este hecho sería fácil ver que $\frac{\alpha+\alpha^4}{2}=\alpha\frac{\alpha^3+1}{2}$ es una raíz de $x^6+3$.

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Creo que la estrategia no está expuesto muy bien por esta "nota de que esto suceda". La idea de polinomios de la forma $x^n+a$ es que una vez que elija una sola raíz $\alpha$, las otras raíces son sólo $\omega^k \alpha$ para algunos primitivos $n$th raíz de la unidad $\omega$. (Este cálculo es obvio para usted, ¿verdad?)

Por lo tanto, si usted puede demostrar que $\alpha$ ya suministra a la primitiva $n$th raíz de la unidad en su extensión, la extensión debe contener todas las raíces de $x^n+a$.