Encontrar el rango de la matriz directamente de los valores propios

Question

Deje que $e$ denotan valores propios y $$e_1=0 \\ e_2=2 \\ e_3=2 \\ $$

Deje que $B$ ser un $3 \times3$ matriz. Esta información es ciertamente suficiente para encontrar el rango de la matriz B (según Gilbert Strang) Y el rango sería $r=2$ . ¿Pero cómo es eso?

Sé que el determinante es $0$ así que el rango no puede ser 3. ¿Pero cómo es que es 2 pero no 1? ¿No puede ser 1?

Mi enfoque de pensamiento es el siguiente.

¿Es porque estos tres valores propios corresponderían a dos vectores propios diferentes. Y ya que dos vectores propios diferentes están en el $C(B)$ esto haría que B $r=2$ . ¿Pero cómo sabemos que los vectores propios son linealmente independientes? ¿Son siempre linealmente independientes? ¿Y los distintos eigenvalores siempre forman el mismo eigenvector?

Answer 1

El rango de una matriz se define como la dimensión del espacio de columnas. Sea $r$ denotan el rango de una matriz, $A$ definido sobre un espacio vectorial de dimensión finita, $V$ .

El teorema del rango (a veces llamado rank-nullity ) relaciona el rango de una matriz con la dimensión de su espacio nulo (a veces llamado Kernel), mediante la relación $\mathrm{dim} V = r + \mathrm{dim ~ Null } A$

Pero, ¿cómo se relaciona esto con los valores y vectores propios?

Recordemos la definición de un valor propio, $\lambda$ es un valor propio de una transformación lineal, $T$ si y sólo si existe un $v \in V$ tal que $Tv = \lambda v \iff (T- \lambda I)v = 0$ .

Recordemos la definición de un vector propio, $v$ es un vector propio de la transformación lineal $T$ con valor propio $\lambda$ si y sólo si existe un valor propio $\lambda$ tal que $Tv = \lambda v \iff (T- \lambda I)v = 0$

Así, tiene sentido definir el eigespacio como el conjunto de todos los vectores propios (que resulta ser un subespacio), es decir, el conjunto de todos los vectores tales que $(T- \lambda I)v = 0$ que no es más que el espacio nulo de $(T- \lambda I)$ . Así que: $\mathrm{E}(\lambda, T) = \mathrm{Null}(T- \lambda I)$ .

Esto te muestra la relación entre los eigenspaces y los espacios nulos. ¿Cómo se relaciona esto con el espacio nulo de $T$ ? Bueno, toma $\lambda = 0$ . Entonces:

$$E(0, T) = \mathrm{Null} ~ T$$

Así que el espacio nulo de $T$ es exactamente la dimensión del eigespacio correspondiente al valor propio $0$ . Por el teorema del rango, lo relacionamos con el rango de la matriz:

$$\mathrm{rank}(T) = \mathrm{dim}V - \mathrm{dim ~ E}(0, T)$$

Ahora bien, a menudo aparecen algunos conceptos erróneos comunes. Mucha gente pensará inicialmente que la dimensión del espacio propio es igual a la multiplicidad (algebraica) del valor propio, pero esto no es cierto. Consideremos:

$$B = \begin{bmatrix} 0 & 1&0 \\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}$$

Para esta matriz, el valor propio $0$ tiene una multiplicidad algebraica de $3$ pero la dimensión del eigespacio correspondiente a $0$ (Y por tanto el espacio nulo de esta matriz) es sólo 1:

$\mathrm{Null}B = \mathrm{span}\left(\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}\right)$ .

Así que para calcular la dimensión del eigespacio correspondiente al valor propio $0$ No se puede contar el número de veces $0$ es un valor propio, hay que encontrar una base para $Null(A)$ y luego ver la longitud de la base, determinando la dimensión del espacio nulo. A partir de ahí, se puede obtener el rango a partir del teorema del rango.

Pero tenemos un límite superior, la dimensión de cada eigespacio (multiplicidad geométrica) no puede ser mayor que la multiplicidad (algebraica) del valor propio en general. Véase aquí por qué.

En su ejemplo, $0$ es un valor propio, lo que significa que existe un vector propio no nulo, $v$ , de tal manera que $Tv=0$ por lo que la dimensión del espacio nulo es al menos $1$ . No podemos tener la dimensión del espacio nulo mayor que $1$ porque la multiplicidad geométrica es menor o igual que la multiplicidad algebraica, y se le dio la multiplicidad algebraica de $0$ es $1$ .

Esto significa que la dimensión del eigespacio correspondiente al valor propio $0$ es al menos $1$ y menor o igual a $1$ . Por tanto, la única posibilidad es que la dimensión del eigespacio correspondiente a $0$ es exactamente $1$ . Por lo tanto, la dimensión del espacio nulo es $1$ por lo que por el teorema del rango el rango es $2$ . No puede ser inferior a 2, porque la dimensión del eigespacio correspondiente a $0$ no puede ser mayor que la multiplicidad algebraica, lo que obliga a que el rango sea $2$ .

Siguiendo con el tema, la forma en la que pareces estar pensando en este problema no es la mejor, pero intentaré responder a algunas de las preguntas que has hecho al respecto para responder completamente a tu pregunta.

En primer lugar, en vectores propios linealmente independientes :

Los vectores propios con valores propios distintos son siempre linealmente independientes. Te mostraré una demostración del siguiente teorema para ti (cito el libro Linear Algebra Done Right de Axler para gran parte de esta demostración):

Dejemos que $\lambda_1, ... , \lambda_m$ sean valores propios distintos de $T$ donde $v_1, ... , v_m$ son los correspondientes vectores propios no nulos, entonces $v_1, ... , v_m$ es linealmente independiente.

Procederemos por contradicción; supongamos que la lista es linealmente dependiente:

Dejemos que $k$ sea el menor número entero tal que $v_1, ... v_{k-1}$ es linealmente independiente. Entonces añadiendo $v_k$ hace que la lista sea linealmente dependiente, por lo que podemos escribir

$v_k = a_1v_1 + ... + a_{k-1}v_{k-1}$ para algunos $a_1, ... , a_{k-1}$ o

$\lambda_kv_k = \lambda_k(a_1v_1 + ... + a_{k-1}v_{k-1}) ~~~~~$ (*)

(multiplicando ambos lados por $\lambda_k$ )

Aplique $T$ a ambos lados de la primera ecuación (recordemos que cada $v_k$ es un vector propio):

$$\lambda_k v_k = \lambda_1a_1v_1 + ... + \lambda_{k-1}v_{k-1}$$

Restando esta ecuación de (*) produce:

$$0 = a_1(\lambda_k-\lambda_1)v_1 + ... + a_{k-1}(\lambda_k-\lambda_{k-1})v_{k-1}$$

Desde $v_1, ... , v_{k-1}$ son linealmente independientes por suposición, debemos tener que todos $a_i$ son cero (ya que no hay $\lambda_k-\lambda_i$ es cero porque asumimos que los valores propios son distintos). Entonces eso significa que $v_k = 0$ pero asumimos que $v_k$ era distinto de cero. Esta es la contradicción que necesitamos, así que debemos tener que $v_1, ... , v_m$ es linealmente independiente.

Por tanto, los vectores propios con valores propios distintos son linealmente independientes. Los vectores propios con el mismo valor propio pueden ser linealmente dependientes (Sea $v$ sea un vector propio, entonces $av$ es también un vector propio ( $a \in \mathbb{F}$ ) porque $T(av) = aT(v) = a\lambda v$ ). Pero como he dicho antes, calculando la dimensión del espacio nulo, se puede determinar la dimensión del espacio propio y, por tanto, el número de vectores propios linealmente independientes correspondientes al mismo valor propio que se puede tener.

No estoy muy seguro de lo que quieres decir con "¿Los eigenvalores distintos siempre forman el mismo eigenvector?", pero creo que esta prueba de la independencia lineal de los eigenvectores con eigenvalores distintos responderá a cualquier duda que tengas.

En cuanto a por qué su enfoque no funcionó, no puede utilizar que hay dos vectores propios linealmente independientes correspondientes al valor propio $2$ y, por tanto, la dimensión del espacio de columnas es $2$ porque no sabes que la dimensión del eigespacio es 2. Tendrías que calcular $\mathrm{Null}(A-2I)$ . Podemos tener una transformación donde el valor propio 2 tiene multiplicidad 2, pero la dimensión del espacio propio no es 2. A saber:

$$\begin{bmatrix}0&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix}$$

Answer 2

El rango es igual a la dimensión del espacio menos la dimensión del núcleo.

La dimensión del núcleo es igual a la dimensión del eigespacio para el valor propio $0$ .