Aplicaciones de la homología

Question

La pregunta: ¿Hay alguna forma de que los matemáticos "aplicados" puedan utilizar la teoría de la homología? ¿Ha visto alguna buena aplicación de la misma al "mundo real", ya sea directa o indirectamente?

¿Por qué me importa? La topología me atrae desde que empecé a estudiarla en la universidad, donde las matemáticas puras eran lo más importante. Actualmente estoy en un programa en el que el programa de matemáticas está orientado a una matemática más aplicada y me preguntan constantemente: "Sí, eso es genial, pero ¿para qué lo puedes usar en el mundo real?". Me gustaría tener algún tipo de respuesta para esto.

Divulgación completa. Soy un estudiante de primer año de posgrado y he trabajado con la mayor parte de Hatcher, aunque no soy en absoluto un experto en ningún tema del libro. Este es también mi primer post aquí, así que si he hecho algo mal sólo dime y voy a tratar de arreglarlo.

Answer 1

Hay aplicaciones concretas en el mundo real. Yo miraría el sitio web/trabajo de Gunnar Carlsson ( http://comptop.stanford.edu/ ) y Robert Ghrist ( http://www.math.upenn.edu/~ghrist/ ). Ambos son excelentes matemáticos.

Lo siguiente podría ser completamente erróneo: Carlsson es uno de los principales defensores de Homología persistente que trata de ver lo que la homología puede decir sobre los grandes conjuntos de datos, las nubes, así como las aplicaciones de la teoría de las categorías a la informática. Ghrist trabaja en cosas como las redes de sensores. No entiendo nada de las matemáticas detrás de estas cosas.

También hay algunos preprints de Phillipe Gaucher que tal vez quieras consultar. Peter Bubenik, de la Universidad de Cleveland, también puede tener cosas divertidas en su sitio web.

Answer 2

Como fuente adicional de ideas, me permito señalar que el vol. 157 de la serie Springer Applied Mathematical Sciences se titula Computational Homology (es de Kaczinski, Mischaikow y Mrozek). Está relacionado con el Proyecto CHOMP que merece la pena consultar.

Estos temas están más relacionados con las matemáticas aplicadas que con el análisis de datos. Ambos hilos probablemente merecen más atención por parte de la comunidad matemática.

Answer 3

Existe una aplicación muy interesante de la homología en la minería de datos y la informática, denominada "análisis topológico de datos". Se basa principalmente en el cálculo de una teoría de la homología denominada "homología persistente", que describe las características topológicas que son "persistentes" al variar el parámetro que se utiliza en el análisis de agrupación (por ejemplo, el radio de las bolas alrededor de los puntos de la nube de datos y dando complejos topológicos clásicos).

Esta teoría homológica ofrece una descripción cualitativa de la topología de la nube de datos subyacente. En este sentido, es un nuevo enfoque de la agrupación, que clásicamente se considera un problema de optimización sujeto a la elección de una función métrica o similar a la métrica para la nube de datos que se examina.

El análisis topológico de datos es especialmente interesante en presencia de "Big Data", es decir, un número extremadamente elevado de datos a menudo no correlacionados, como los procedentes de las ciencias médicas, las redes sociales o la meteorología.

Puede consultar la página de Gunnar Carlsson y otros. trabaja en el arxiv para tener una mejor idea de ello. Una gran introducción al tema es http://www.ams.org/journals/bull/2009-46-02/S0273-0979-09-01249-X/S0273-0979-09-01249-X.pdf

Answer 4

Tal vez quiera consultar "Clasificadores topológicos y estadísticos de comportamiento para aplicaciones de seguimiento" abstracto preimpresión

Se trata de la primera teoría unificada para el seguimiento de objetivos utilizando el seguimiento de hipótesis múltiples, el análisis de datos topológicos y el aprendizaje automático. Nuestra serie de innovaciones son: 1) se utilizan características topológicas robustas para codificar la información de comportamiento (de homología ), 2) los modelos estadísticos se ajustan a las distribuciones sobre estas características topológicas, y 3) los métodos de clasificación del tipo de objetivo de Wigren y Bar Shalom et al. se emplean para explotar las probabilidades resultantes para las características topológicas dentro del procedimiento de seguimiento.