Encuentre un $n\times n$ matriz entera con determinante 1 y $n$ valores propios distintos

Question

Más o menos lo que sugiere el título: para cualquier número entero positivo $n$ Estoy buscando un $n$ -por- $n$ matriz con entradas enteras, determinante $1$ y $n$ valores propios.

En caso de que sea absolutamente inútil llegar a tal matriz, estoy buscando una prueba de que tal matriz existe.

Answer 1

Cuando $n$ es impar utilizar el $n \times n$ matriz para la permutación cíclica $(a_1,a_2,...,a_n) \rightarrow (a_n,a_1,...,a_{n-1})$ .. Entonces $A^n=I$ y como $n$ es impar, $det(A)=1$ y las entradas de $A$ son todos $1$ o $0$ . Los valores propios son los distintos $n$ raíces de la unidad (tiene el polinomio característico $x^n-1$ ). Si se permite el determinante $-1$ esto también funcionará en el caso par.

Por la sugerencia de derpy a continuación podemos hacer el caso impar e incluso a la vez utilizando la matriz para el mapa:

$(a_1,a_2,...,a_n) \rightarrow ((-1)^{n+1}a_n,a_1,...,a_{n-1})$ .

Entonces, cuando $n$ es impar obtenemos la permutación cíclica, y la cuasicíclica para $n$ incluso. En cada caso $det(A)=1$ y los valores propios son raíces distintas de $\pm 1$ .

Answer 2

Tome cualquier representación de grado $n$ de cualquier grupo simétrico $S_m$ . Todas las entradas de la matriz serán enteras pero el determinante podría ser $\pm 1$ . Como han sugerido otros, podemos cambiar todos los signos de la primera fila, si es necesario, y obtener matrices enteras de determinante $+1$ . Como todas las matrices son de orden finito, serán diagonalizables y, por tanto, tendrán $n$ valores propios.