Un contraejemplo de sumando directo

Question

Todos mis intentos de probar la siguiente afirmación han sido inútiles y parece ser errónea, pero no puedo encontrar ningún contraejemplo(s) para ello. :)

" Si U y N son dos sumandos directos de un grupo abeliano G tal que N+U=G, entonces la intersección de N y U es también un sumando directo de G ".

Answer 1

Hay contraejemplos. Uno se da en otra pregunta en este sitio, Ejemplo de intersección de subgrupo puro que no es puro . Como señala Jack Schmidt en un comentario un ejemplo es el siguiente $G=\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_8$ , $N=\langle (1,1)\rangle$ y $U=\langle (0,1)\rangle$ . Entonces $G$ es la suma directa de $N$ y $\langle (1,4)\rangle$ y de $U$ y $\langle(1,0)\rangle$ . La intersección es $\langle(0,2)\rangle\cong\mathbb{Z}_4$ que no es un sumando directo de $G$ porque $G$ no es isomorfo a $\mathbb{Z}_4\oplus\mathbb{Z}_4$ o a $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4$ . El grupo generado por $N$ y $U$ es $G$ porque contiene $(0,1)$ y $(1,0)=(1,1)-(0,1)$ .

Answer 2

Si no recuerdo mal, los sumandos directos deberían tener una intersección trivial. El grupo trivial es normal como lo es todo el grupo $G$ (Acabo de darme cuenta de que tus grupos son abelianos, así que eso no es un problema). Así que si quieres puedes considerar $G = \{e \} \oplus G$ .