Resolución del problema del radio de la Tierra en función de la distancia al horizonte

Question

Supongamos que estás en la cima de una colina con una altura $d$ y desde lo alto de esta colina se puede ver la cima de la torre de radio en el horizonte. Tu objetivo es determinar el radio de la Tierra, así que conduces desde la base de la colina, en línea recta (a lo largo de un arco) hasta la base de la torre de radio. Tu cuentakilómetros mide la longitud de un arco, $s$ y puedes medir la altura de la torre de radio, $a$ . Entonces, ¿qué es $R$ ?

Puede que se me haya olvidado el álgebra básica, pero estoy intentando resolverlo mediante tres ecuaciones y tres incógnitas:

$$s = R(\phi_1+\phi_2) $$ donde $$ \cos(\phi_1) = \frac{R}{R+a} $$ y $$\cos(\phi_2) = \frac{R}{R+d}.$$ Toma, $a$ , $d$ y $s$ son todos conocidos. Así que tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas donde $R$ es el radio de la Tierra que hay que determinar, $\phi_1$ y $\phi_2$ son los ángulos de sus respectivas longitudes de arco.

¿Cómo se resuelve esto?

Como nota, no se trata de un problema de deberes. En realidad, quiero realizar este experimento para ver la exactitud de mi radio determinado.

Answer 1

$$ R = \underbrace{\frac a {\sec\varphi_1 - 1} = \frac d {\sec\varphi_2 - 1} = \frac s {\varphi_2+\varphi_2}} \tag 1 $$

Creo que habrá que hacerlo numéricamente y no de forma cerrada.

Intentemos una primera aproximación utilizando $\sec\theta-1 \approx \dfrac{\theta^2} 2$ : $$ \frac a {\varphi_1^2/2} = \frac d {\varphi_2^2/2} = \frac s {\varphi_2+\varphi_2} $$ $$ \frac{\varphi_1^2}{2a} = \frac{\varphi_2^2}{2d} = \frac{\varphi_1 + \varphi_2} s \tag 2 $$

Claramente $\varphi_1=\varphi_2=0$ es una solución tanto de $(1)$ y $(2)$ pero buscamos soluciones distintas de cero. Dejando $\alpha=\varphi_2/\varphi_1$ es lícito porque $\varphi_2\ne0$ . Entonces tenemos $$ \alpha^2 = \frac d a \quad \text{and so} \quad \frac {\varphi_1(1 + \sqrt{d/a\,{}})} s = \frac{\varphi_1^2}{2a}. $$

$\phantom{0}$ \begin{align} \varphi_1 = \frac{1 + \sqrt{d/a\,{}}} s \cdot 2a & = 2(\sqrt a + \sqrt d) \cdot \frac {\sqrt a} s \\[12pt] \varphi_2 & = 2(\sqrt a + \sqrt d) \cdot \frac {\sqrt d} s. \end{align}

Si $\varphi_1,\varphi_2$ son pequeñas, esto debería acercarse bastante a la respuesta.

Answer 2

Tratando cada lado de la situación simétrica por separado, tenemos $\cos\phi_1=R/(R+a)$ y, por tanto, para $\phi\ll1$ (que es válido para colinas y torres de radio realistas) $1-\frac12\phi_1^2\approx R/(R+a)$ . Resolución de $\phi_1$ produce $\phi_1\approx\sqrt{2a/(R+a)}\approx\sqrt{2a/R}$ . Igualmente, $\phi_2\approx\sqrt{2d/R}$ . Entonces $s=R(\phi_1+\phi_2)\approx\sqrt{2R}(\sqrt a+\sqrt d)$ Así que

$$ R\approx\frac{s^2}{2\left(\sqrt a+\sqrt d\right)^2}\;. $$