Me gusta la forma en que funciona la integración, pero la fórmula final $\pi ab$ es demasiado simple. Sé que hay una manera más profunda de derivarla. Simplemente no me gusta usar cálculo aquí, hay demasiadas ecuaciones.
Me gustaría usar matemáticas simples, que ofrecen una visión más profunda de ello.
Piénsalo de esta manera. Comienzas con un círculo de radio $a$ del cual sabes que tiene un área $\pi \cdot a^2$. Ahora eliges una dirección (digamos horizontalmente para concretar) y estiras el círculo en esa dirección de modo que lo que solía ser el diámetro de longitud $2a$ ahora tenga longitud $2b$. En consecuencia, cada línea que yace horizontalmente habrá sido estirada por un factor de $b/a$, mientras que dejas la dirección vertical invariable. Entonces tu área total también habrá sido cambiada por un factor de $b/a$, dando como resultado $\pi \cdot a \cdot b.
@Sebastian Luego pierdo la definición formal de la elipse, que dice que la suma de las distancias desde los focos es $2a$. ¿Cómo puedo conservar la definición de la elipse? Además, tu demostración tiene lagunas como esa. Así que es parcial.
@koe No, no es parcial. te refieres a "una" definición de la elipse. Hay otras. Sebastian Schulz se refiere a otra (equivalente) definición que equivale a decir que una elipse tiene la ecuación $x^2/a^2+y^2/b^2=1$.
Bueno, no estoy seguro a qué lagunas te refieres. Tenía entendido que estabas buscando un enfoque más intuitivo que evitara más cálculo. En cuanto a tu comentario sobre la definición, eso es una tarea fácil en la geometría euclidiana bidimensional: Selecciona coordenadas que sitúen los focos en $(\pm c,0)$ y deja que tu elipse sea el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ tales que $\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = r$. Entonces puedes convencerte de que $(\pm r/2, 0)$ satisfacen eso, así que define $a=r/2$. Luego, para encontrar $b$ necesitarás encontrar los puntos $(0, \pm b)$ que se encuentran en la elipse
¡Me gusta esta idea! ¿Pero cómo sabes que los mapas afines preservan las proporciones entre las áreas de los polígonos no?
@wchargin: la idea clave detrás de la definición de área a través de la medida de Peano-Jordan es que cualquier forma que merezca un área puede descomponerse en una unión casi disjunta de polígonos. La principal complicación es que dicha unión no siempre es la unión de una cantidad finita de piezas, pero el principio expuesto se aplica a cada pieza de la misma manera.
Considere el disco unitario (limitado por el círculo de radio $1$, centrado en el origen). Ahora, para construir una elipse cuyos ejes son $a$ a lo largo del eje $x$ y $b$ a lo largo del eje $y$. Esto corresponde a la aplicación de la transformación lineal $$ \begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}. $$ Podemos confirmar que esta es una elipse porque si sus coordenadas originales son $x_1$ y $x_2$ mientras que sus nuevas coordenadas son $y_1$ y $y_2$, tenemos que $y_1=ax_1$ y $y_2=bx_2$. Por lo tanto, $y_1$ y $y_2$ satisfacen: $$ \frac{y_1^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1. $$
Dado que las transformaciones lineales escalan áreas por el determinante (y el disco original tiene área $\pi$), el área resultante es $ab\pi$.
@Burr pero ¿cómo sabemos fácilmente que es una elipse? No la ecuación de una elipse, sino que la suma de la distancia de los puntos a los dos focos es $2a$
La fórmula del área es un tema estándar en álgebra lineal (es el argumento de estiramiento que hizo otra respuesta, pero de manera más formal).
Dibuja un rectángulo de área conocida alrededor de tu forma. Comienza a lanzar un número conocido de dardos al azar dentro del rectángulo, cuantos más mejor. Cuenta el número de dardos que caen dentro de los límites de tu forma versus los que caen afuera, pero aun dentro de los límites del rectángulo. Aplica esa proporción al área conocida del rectángulo, y así tendrás una aproximación del tamaño de tu forma.
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Quizás deberías definir $a$ y $b$.
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mathforum.org/library/drmath/view/54979.html
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Ver prueba 2: proofwiki.org/wiki/Area_of_Ellipse
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¿Cómo vas a definir $\pi$?
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En las respuestas, sigues volviendo a una elipse siendo los puntos donde la suma de las distancias de los focos es $2a$. Otra forma de definir una elipse es mediante la ecuación $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (que es equivalente a estirar un círculo). Otra forma es cortando un cono. Matemáticas simples sin cálculo significa que obtendrás diversas vistas de una elipse, y que estás contento con eso. Si quieres que una elipse sea definida por la distancia a sus focos, no es difícil demostrar que eso da la ecuación estándar. Pero eso son muchas ecuaciones.
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Solo una manera intuitiva de ver esta fórmula: el área de la elipse es $\pi$ veces el área del rectángulo circunscrito. Para un círculo, el rectángulo se convierte en cuadrado. Pero nuevamente, la validez de esta intuición vaga se basa en cálculo.
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Como nota al margen, ni siquiera sé cómo definir la noción de "área de una elipse" sin cálculo. (o, al menos, análisis real)
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Wow xD "la fórmula final es demasiado simple"... nunca dijo un matemático, NUNCA. En serio, suenas decepcionado xD
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