¿Cómo se calcula el área de una elipse sin cálculo?

Question

Me gusta la forma en que funciona la integración, pero la fórmula final $\pi ab$ es demasiado simple. Sé que hay una manera más profunda de derivarla. Simplemente no me gusta usar cálculo aquí, hay demasiadas ecuaciones.

Me gustaría usar matemáticas simples, que ofrecen una visión más profunda de ello.

Answer 1

Piénsalo de esta manera. Comienzas con un círculo de radio $a$ del cual sabes que tiene un área $\pi \cdot a^2$. Ahora eliges una dirección (digamos horizontalmente para concretar) y estiras el círculo en esa dirección de modo que lo que solía ser el diámetro de longitud $2a$ ahora tenga longitud $2b$. En consecuencia, cada línea que yace horizontalmente habrá sido estirada por un factor de $b/a$, mientras que dejas la dirección vertical invariable. Entonces tu área total también habrá sido cambiada por un factor de $b/a$, dando como resultado $\pi \cdot a \cdot b.

Answer 2

Puedes usar un mapa afín $\varphi$ para enviar una elipse a un círculo. Dado que los mapas afines preservan las proporciones entre áreas, el área de la elipse es $\frac{\text{Área}(\text{círculo})}{\left|\det\varphi\right|}=\pi a b$.

Answer 3

Considere el disco unitario (limitado por el círculo de radio $1$, centrado en el origen). Ahora, para construir una elipse cuyos ejes son $a$ a lo largo del eje $x$ y $b$ a lo largo del eje $y$. Esto corresponde a la aplicación de la transformación lineal $$\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}.$$ Podemos confirmar que esta es una elipse porque si sus coordenadas originales son $x_1$ y $x_2$ mientras que sus nuevas coordenadas son $y_1$ y $y_2$, tenemos que $y_1=ax_1$ y $y_2=bx_2$. Por lo tanto, $y_1$ y $y_2$ satisfacen: $$\frac{y_1^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1.$$

Dado que las transformaciones lineales escalan áreas por el determinante (y el disco original tiene área $\pi$), el área resultante es $ab\pi$.

Answer 4

Dibuja un rectángulo de área conocida alrededor de tu forma. Comienza a lanzar un número conocido de dardos al azar dentro del rectángulo, cuantos más mejor. Cuenta el número de dardos que caen dentro de los límites de tu forma versus los que caen afuera, pero aun dentro de los límites del rectángulo. Aplica esa proporción al área conocida del rectángulo, y así tendrás una aproximación del tamaño de tu forma.