¿Conserva todo automorfismo de un grupo de permutación la estructura del ciclo?

Question

En clase demostramos que el mapa de conjugación preserva la estructura del ciclo, y me preguntaba si esto es así para cualquier automorfismo de un grupo de permutación. Intuitivamente pienso que debería ser así, porque los automorfismos son isomorfismos de un grupo a sí mismo y los isomorfismos no deberían modificar ninguna estructura fundamental de un elemento (es decir, los generadores deben mapearse a generadores, un elemento de una determinada potencia se mapea a uno de la misma potencia, etc.). Sin embargo, no tengo ninguna razón real para pensar que la estructura de ciclo es una propiedad fundamental de un elemento de un grupo de permutación, y estoy luchando para demostrar la afirmación en el caso general. ¿Alguien tiene alguna idea o percepción?

Answer 1

Teniendo en cuenta el comentario de joriki, interpretaré que "grupo de permutación" significa "grupo simétrico", porque de lo contrario es obvio que la estructura del ciclo no se conserva; el grupo de permutación $$V:=\{\operatorname{id}_{S_4},(1\ 2),(3\ 4),(1\ 2)(3\ 4)\}\subset S_4,$$ tiene muchos automorfismos que no preservan la estructura del ciclo, por ejemplo.

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En primer lugar, algo de terminología: Un automorfismo interior de un grupo $G$ es un $\varphi\in\operatorname{Aut}(G)$ para lo cual $$\exists x\in G:\ \forall g\in G:\qquad \varphi(g)=xgx^{-1}.$$ Es decir, el automorfismo $\varphi$ viene dada por la conjugación de $x\in G$ . Los automorfismos que no son internos se llaman automorfismos exteriores . Es un bonito e instructivo ejercicio comprobar que los automorfismos interiores forman un subgrupo normal $\operatorname{Inn}(G)\unlhd\operatorname{Aut}(G)$ .

En el caso de los grupos simétricos, la conjugación preserva la estructura de los ciclos, como se demostró en clase. En pocas palabras, la conjugación de un $g\in S_n$ por alguna permutación $x\in S_n$ simplemente permuta los números en cualquier representación de ciclo de $g$ por la permutación $x$ , por lo que se preserva la estructura del ciclo. Es decir, $$\text{ If }\qquad g(i)=j\qquad \text{ then }\qquad (xgx^{-1})(x(i))=x(j).$$ Esto significa que todos los automorfismos internos de $S_n$ preservar la estructura del ciclo.

Es un hecho extraño y no trivial que todos los automorfismos de todos los grupos simétricos son automorfismos internos, excepto para algunos automorfismos de $S_6$ . Estos automorfismos externos hacen no preservar la estructura del ciclo. Se puede comprobar esto observando los automorfismos externos explícitos de $S_6$ . La respuesta del usuario 2015 da una construcción para tales automorfismos, y Google le dará muchas más construcciones, por ejemplo aquí y aquí .

No conozco una prueba sencilla del hecho de que todos los automorfismos de $S_n$ son interiores para $n\neq6$ pero aquí es una bonita y elegante prueba realizada por el usuario anon utilizando únicamente teoría de grupos y combinatoria básicas.

Answer 2

Considere $S_5$ . Sea $\sigma$ ser un $5$ -ciclo en $S_5$ . Compruebe que si $$N=N_{S_5}(<\sigma>)$$ entonces $$\mid N\mid=20$$ (Puede utilizar la fórmula que para $p$ -ciclo, $\sigma$ , $N_{S_p}(<\sigma>)=p(p-1)$ ). Consideremos ahora $$\phi:S_5\longrightarrow T(S_5/N)\cong S_6$$ por la obvia acción de grupo donde $S_5/N$ es un conjunto de $6$ cosets izquierdos distintos de $N$ en $S_5$ . Ahora $ker\phi$ es el mayor subgrupo normal de $S_5$ contenida en $N$ . Desde $N$ tiene orden $20$ y el subgrupo normal de $S_5$ son sólo $A_5$ y $e$ por lo que el mapa $\phi$ es inyectiva. Denotemos $Im(\phi)$ como $H$ . Tenga en cuenta que $H$ es un subgrupo transitivo de $S_6$ como $$\phi(yx^{-1})(xN)=yN.$$ Ahora considere el mapa $$\psi:S_6\longrightarrow T(S_6/H)\cong S_6$$ procedente de la acción del grupo en el conjunto $S_6/H$ de $6$ elementos. A partir de un razonamiento similar al anterior se puede demostrar que $\psi$ es también inyectiva y, por tanto, suryente, por lo que es un isomorfismo. Pero nótese que para $\alpha\in\psi(H)$ , $\alpha$ fija el coset $H$ . Por lo tanto, $\psi(H)$ no es un subgrupo transitivo. Pero todo automorfismo interno lleva a un subgrupo transitivo a un subgrupo transitivo. Por tanto, $\psi$ no es interior. Así que, $\psi$ no conserva la estructura del ciclo.