Binomio suma de $n$ términos en forma cerrada

Question

Podemos calcular el dado combinatoria suma en forma cerrada?

$$ \frac{\binom{2}{0}}{1}+\frac{\binom{4}{1}}{2}+\frac{\binom{8}{2}}{3}+\frac{\binom{16}{3}}{4}+\cdots+\frac{\binom{2^n}{n-1}}{n}$$

Answer 1

Es dudoso que una forma cerrada existe para esta suma. Sin embargo, los términos crecer muy rápidamente. Para $n$ grande la suma se aproxima bien por su último término, $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}{2^k\choose k-1} \sim \frac{1}{n}{2^n\choose n-1}.$$ Para $n=13$ el error debido a esta aproximación es una parte en un millón. Para $n=20$ el error es una parte en diez mil millones de dólares.