Me disculpo de antemano si esto es trivial, pero estoy un poco confundido aquí.
Así que considere el campo finito $\mathbb{F}_{p^d}$ sobre el primer campo de $\mathbb{F}_p$. Wecan asociado con cada elemento de a $\alpha \in \mathbb{F}_{p^d}$, la asignación de $F_{\alpha}:\mathbb{F}_{p^d} \to \mathbb{F}_{p^d}$ donde $y \in \mathbb{F}_{p^d}$, $$F_{\alpha}(y)=\alpha y$$ Es fácil mostrar que $F_{\alpha}$ es una transformación lineal, y por lo tanto un endomorfismo de $\mathbb{F}_{p^d}$ $\mathbb{F}_{p}$- espacio vectorial. De hecho, esto nos da una canónica de la incrustación del campo $\mathbb{F}_{p^d}$ en el ring $End(\mathbb{F}_{p^d})$ donde $\alpha \mapsto F_{\alpha}$.
Mi pregunta es: ¿Podemos concluir que desde la $F_{\alpha}(y)=\alpha y$ por cada $y \in \mathbb{F}_{p^d}$, lo $\alpha \in \bar{\mathbb{F}_p}$ es el único autovalor de a $F_{\alpha}$ con el conjunto de la $\mathbb{F}_{p^d}$ como su espacio propio?
Yo sé que esto está mal, pero soy incapaz de localizar el error en la conclusión. Por ejemplo, sabemos de la Cayley-Hamilton teorema que $F_{\alpha}$ sí (o cualquier matriz que representa que después de la elección de la base) es una raíz del polinomio característico de la endomorfismo $F_{\alpha}$, y ahora desde $F_{\alpha}$ es la imagen del elemento de campo $\alpha$, esto significaría que el polinomio mínimo de a $\alpha$ como un elemento de campo de más de $\mathbb{F}_p$ tiene que dividir el characterstic polinomio de $F_{\alpha}$. Esto introduciría todos los conjugados de la $\alpha$ también como valores propios de a $F_{\alpha}$.
Pero, ¿por qué es la trivial conclusión de que cada vector es un vector propio para el autovalor $\alpha$ mal? Después de todo, $F_{\alpha}(y)=\alpha y$. Todo este asunto del tratamiento de los elementos de campo como los vectores, y, a continuación, tratar de campo de multiplicación como la multiplicación de vectores por escalares (en el cierre) es muy confuso!
Mi objetivo final es establecer que el polinomio característico de a $F_{\alpha}$ es una potencia del polinomio mínimo de a $\alpha$ como un elemento de campo. Yo estaría muy agradecido si alguien pudiera dar una imagen clara de cómo se ve esto.
