Valores propios de matrices sobre campos finitos.

Question

Me disculpo de antemano si esto es trivial, pero estoy un poco confundido aquí.

Así que considere el campo finito $\mathbb{F}_{p^d}$ sobre el primer campo de $\mathbb{F}_p$. Wecan asociado con cada elemento de a $\alpha \in \mathbb{F}_{p^d}$, la asignación de $F_{\alpha}:\mathbb{F}_{p^d} \to \mathbb{F}_{p^d}$ donde $y \in \mathbb{F}_{p^d}$, $$F_{\alpha}(y)=\alpha y$$ Es fácil mostrar que $F_{\alpha}$ es una transformación lineal, y por lo tanto un endomorfismo de $\mathbb{F}_{p^d}$ $\mathbb{F}_{p}$- espacio vectorial. De hecho, esto nos da una canónica de la incrustación del campo $\mathbb{F}_{p^d}$ en el ring $End(\mathbb{F}_{p^d})$ donde $\alpha \mapsto F_{\alpha}$.

Mi pregunta es: ¿Podemos concluir que desde la $F_{\alpha}(y)=\alpha y$ por cada $y \in \mathbb{F}_{p^d}$, lo $\alpha \in \bar{\mathbb{F}_p}$ es el único autovalor de a $F_{\alpha}$ con el conjunto de la $\mathbb{F}_{p^d}$ como su espacio propio?

Yo sé que esto está mal, pero soy incapaz de localizar el error en la conclusión. Por ejemplo, sabemos de la Cayley-Hamilton teorema que $F_{\alpha}$ sí (o cualquier matriz que representa que después de la elección de la base) es una raíz del polinomio característico de la endomorfismo $F_{\alpha}$, y ahora desde $F_{\alpha}$ es la imagen del elemento de campo $\alpha$, esto significaría que el polinomio mínimo de a $\alpha$ como un elemento de campo de más de $\mathbb{F}_p$ tiene que dividir el characterstic polinomio de $F_{\alpha}$. Esto introduciría todos los conjugados de la $\alpha$ también como valores propios de a $F_{\alpha}$.

Pero, ¿por qué es la trivial conclusión de que cada vector es un vector propio para el autovalor $\alpha$ mal? Después de todo, $F_{\alpha}(y)=\alpha y$. Todo este asunto del tratamiento de los elementos de campo como los vectores, y, a continuación, tratar de campo de multiplicación como la multiplicación de vectores por escalares (en el cierre) es muy confuso!

Mi objetivo final es establecer que el polinomio característico de a $F_{\alpha}$ es una potencia del polinomio mínimo de a $\alpha$ como un elemento de campo. Yo estaría muy agradecido si alguien pudiera dar una imagen clara de cómo se ve esto.

Answer 1

El problema es que implícitamente de cambiar el espacio vectorial cuando se permite que los autovalores de una expresión algebraica cierre.

Volvamos de nuevo a algo que puede ser más familiar. Considerar los números complejos $\mathbb{C}$ $2$- dimensional real vectorspace.

A continuación,$F_i$, la multiplicación por la unidad compleja $i$, corresponde a la endomorfismo de $\mathbb{R}^2$ que envía a$(x,y)$$(-y,x)$.

Por lo que la matriz asociada es

$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$$

El polinomio mínimo es $X^2 +1$.

No es autovalor real, pero la compleja $i$ también $-i$.

Ahora, si uno quiere calcular un subespacio propio asociado a $i$, lo que iba a hacer?

La respuesta rápida podría ser uno de calcular el núcleo de $F_i - i \operatorname{id}$, que es resolver

$$\begin{pmatrix} -i & -1 \\ 1 & i\end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0$$

Sin embargo, lo que va a ser el dominio de $v_1,v_2$? Necesitamos permitir que $v_1$ $v_2$ a cada uno un número complejo. Que consideramos que el problema de la $2$-dimensiones complejo espacio vectorial, no el $2$-dimensiones reales de espacio vectorial.

En suma, para el vector original espacio, el endomorfismo no tiene autovalores. Sólo, cuando pasamos a un 'grande' espacio vectorial y considerar la extensión de que endomorfismo, entonces se obtienen los autovalores.

También tenga en cuenta que el endomorfismo extendido a partir de la "multiplicación por $\alpha$" no es la misma que la que se obtiene por la multiplicación escalar por $\alpha$ sobre el mayor espacio vectorial.

Answer 2

Veamos un pequeño ejemplo. El campo$K$ de 9 elementos se puede ver como todos $a+bi$%,$a$ y$b$ provenientes del campo$F$ de 3 elementos,$i^2=-1$ . Como un espacio vectorial,$K$ tiene una base$\{\,1,i\,\}=\{\,(1,0),(0,1)\,\}$. La multiplicación por$i$ es la multiplicación por la matriz $$\pmatrix{0&2\cr1&0\cr}$$ This matrix has eigenvalue $i$ with eigenvector $\ pmatrix {2 \ cr i \ cr}$, and eigenvalue $- i$ with eigenvector $\ pmatrix {1 \ cr i \ cr}$.

Tal vez reflexionar sobre este ejemplo aclarará su confusión.