Las identificaciones de$R$ en su anillo de fracciones$S^{-1}R$

Question

Si$R$ es un dominio integral, podemos identificar los elementos$r\in R$ como elementos$rs/s$ del anillo de fracciones$S^{-1}R$. De esta manera, podemos identificar$r\in R$ como$r/1_R$. He visto en algún lugar que podemos tener un caso más general que identifica$r$ como$r/u$, donde$u$ es una unidad, ¿es eso cierto?

Gracias por adelantado

Answer 1

El resultado relevante:$\tau: R \to S^{-1}R \ , \ r\mapsto r/1$ es inyectivo si$S$ no contiene cero divisores de$R.$

Prueba: supongamos que$r/1 = r'/1.$ Por definición, esto es cierto si y solo si existe$s\in S$ de manera tal que$s(r\cdot 1 - r'\cdot 1)= s( r-r')=0.$ Pero$S$ no tiene divisores de cero, por lo que debemos tener$r=r'.$

Puede modificar esta prueba para mostrar que el mapa$\sigma: R \to S^{-1}R \ , \ r \mapsto r/u$ (donde$u$ es una unidad de$R$ contenido en$S$) es inyectivo si$S$ no lo hace. contienen cero divisores de$R.$