Encuentre el$n$ - derivado de$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x}}$

Question

Encuentre el$n$ - th derivado de$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x}}$ $ Primero, solo calculé el primer, segundo y 3º, 4º th y ahora quiero resumir la fórmula general. Pero parece demasiado complicado. Luego quiero usar el teorema del binomio o la expansión de Taylor ... Tampoco tengo más pistas.

Answer 1

Esto puede ser mucho más simple mediante el cambio de variables. (Cambio de variables se enseña comúnmente como una técnica para la integración, pero también puede ser útil para la diferenciación.)

Introducir la nueva variable $u=1-x$. A continuación,$x=1-u$, y $$f(x) = \frac{1-u}{\sqrt{u}} = u^{-1/2} - u^{1/2}$$ Si definimos una nueva función de $g(x)=x^{-1/2} - x^{1/2}$, entonces esto nos dice que $$f(x) = g(1-x),$$ and therefore on taking derivatives we have $$f^{(n)}(x) = (-1)^n g^{(n)}(1-x)$$

Este cambio de variables permite esencialmente intercambiar el problema de calcular derivadas de $f(x)$ y el comercio, para el cómputo de los derivados de la (mucho más simple) la función $g(x)$.

Ahora, los derivados de la $g(x)$ $$g'(x) = \left( - \frac{1}{2}\right)x^{-3/2} - \left(\frac{1}{2}\right)x^{-1/2} $$ $$g''(x) = \left( - \frac{1}{2}\right)\left( - \frac{3}{2}\right)x^{-5/2} - \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} $$ $$g'''(x) = \left( - \frac{1}{2}\right)\left( - \frac{3}{2}\right)\left( - \frac{5}{2}\right)x^{-7/2} - \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)x^{-5/2} $$

y, en general, si se introduce la notación $A_n$ para denotar el producto de la primera $n$ números impares (por ejemplo, $A_1=1$, $A_2 = 1\cdot 3$, $A_3 = 1\cdot 3 \cdot 5$, etc.) entonces

$$g^{(n)}(x)=(-1)^n \frac{A_n}{2^n}x^{-(2n+1)/2} + (-1)^n \frac{A_{n-1}}{2^n}x^{-(2n-1)/2}$$

Ahora recordamos que $f^{(n)}(x) = (-1)^n g^{(n)}(1-x)$, por lo que

$$f^{(n)}(x)=\frac{A_n}{2^n}(1-x)^{-(2n+1)/2} + \frac{A_{n-1}}{2^n}(1-x)^{-(2n-1)/2}$$

La única cosa que queda es expresar los coeficientes $A_n$, en una forma más conveniente de forma cerrada; para eso, ve Probando fórmula para el producto de los primeros n números impares.

Answer 2

Dejar $g(x)=x$, $h(x)=(1-x)^{-1/2}$. Entonces podemos decir que$g^{[n]}=\begin{cases}x&n=0\\1&n=1\\0&\text{else}\end{cases}$ y que$h^{[n]}=(-1)^n\left(-\frac12\right)^{(n)}(1-x)^{-n-1/2}$, donde$x^{(n)}$ es el factorial de caída. Luego, por la regla del general Leibniz ,

$$ \begin{aligned}\left(g\cdot h\right)^{[n]}&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}h^{[n-k]}g^{[k]}\\ &=g^{[0]}h^{[n]}+ng^{[1]}h^{[n-1]}+\sum_{k=2}^n\binom{n}{k}h^{[n-k]}g^{[k]}\\ &=\frac{x\cdot(-1)^n\left(-\frac12\right)^{(n)}}{(1-x)^{n+1/2}}+n\frac{(-1)^{n-1}\left(-\frac12\right)^{(n-1)}}{(1-x)^{n-1/2}}\\ &=\frac{(-1)^n\left(-\frac12\right)^{(n-1)}\left(x-2n\right)}{2(1-x)^{n+1/2}}\\ \end {alineado} $$

Según la respuesta de @ Luca_Bressan , también podemos expresar los coeficientes como$\frac12(-1)^n\left(-\frac12\right)^{(n-1)}=-\frac{(2n-3)!!}{2^n}$.

Answer 3

Tenemos$f(x)=g(x)h(x)$ donde$g(x)=x$ y$h(x)=(1-x)^{-1/2}$. De ahí que usando la regla de Leibniz tenemos

$$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}h^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)={n\choose n}h^{(n)}(x)g(x)+{n\choose n-1}h^{(n-1)}(x)g'(x) \quad(*)$ $ Queda por calcular

$$h^{(n)}(x)=\frac{1}{2}\frac{3}{2}\cdots \frac{2n-1}{2}(1-x)^{(2n-3)/2} =\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}(1-x)^{(2n-3)/2}$ $ y luego sustitúyalo en$(*)$ y simplifique.

Answer 4

$x(1-x)^{-\frac 12}$

Teorema binomial generalizado.

$x(1-x)^{-\frac 12} = x(1^{-\frac {1}{2}} + \frac {-1}{ 2}1^{-\frac {3}{2}}(-x) + \frac {-1}{ 2}\frac {-3}{2}\frac {1}{2}1^{-\frac {5}{2}}(-x)^2+\frac {-1}{ 2}\frac {-3}{2}\frac {1}{2}\frac {-5}{2}\frac {1}{3}1^{-\frac {5}{2}}(-x)^3\cdots$

$x(1-x)^{-\frac 12} = x + \frac {1}{ 2}x^2 + \frac {3}{8}x^3+\frac {5}{16}x^4\cdots$

$ a_1 = 1 \\ a_ {n +1} = a_n {\ frac {2n-1} {2n}} \\ a_n = \ frac {(2n-1)!} {2 ^ {2n} ((n- 1)!) ^ 2} $

Answer 5

Podemos probar que$$f^{(n)}(x) = - \frac {(2n - 3)!!\, (x - 2n)} {2^n (1 - x)^{(2n + 1)/2}}$ $ para$n \ge 2$ por inducción en$n$.

El caso base es fácil. Para el paso inductivo, $$ \begin{align*} \frac d {dx} f^{(n)} (x) & = - \frac {(2n - 3)!!\, 2^n (1 - x)^{(2n + 1)/2} + (2n - 3)!!\, (x - 2n) 2^n \frac {2n+1} 2 (1 - x)^{(2n - 1)/2}} {2^{2n} (1 - x)^{2n + 1}} \\ & = - \frac {(2n - 3)!!\, 2^{n-1} (1 - x)^{(2n - 1)/2} \, [2 (1 - x) + (x - 2n) (2n + 1)]} {2^{2n} (1 - x)^{2n + 1}} \\ & = - \frac {(2n - 3)!!\, (2n - 1)(x - 2n - 2)} {2^{n+1} (1 - x)^{(2n + 3)/2}} \\ & = - \frac {[2(n + 1) - 1]!!\, [x - 2(n + 1)]} {2^{n+1} (1 - x)^{[2(n + 1) + 1]/2}}. \end {align *} $$