Problema relacionado con la DGC

Question

Estaba resolviendo una pregunta en GCD. La pregunta era calcular el valor de $$\gcd(n,m)$$ donde $$n = a+b$$$$ m = (a+b)^2 - 2^k(ab) $$ $$\gcd (a,b)=1 $$ Till now I have solved that when $ n $ is odd, the $\gcd (n,m)=1$.
Así que me gustaría obtener una pista o dirección para proceder para el caso cuando $n$ está en paz.

Answer 1

$$\gcd(n,m)=\gcd(a+b,(a+b)^2-2^k(ab))=\gcd(a+b,2^k(ab))=\gcd(a+b,2^k)$$ donde la última igualdad utiliza el hecho de que $\gcd(a+b,ab)=1$ , fácilmente demostrable a partir de $\gcd(a,b)=1$ .

Answer 2

Idea clave: $ $ emplear $\bigg\lbrace\begin{eqnarray}\rm Euclidean\ Algorithm\ \color{#f0f}{(EA)}\!: &&\rm\ (a\!+\!b,x) = (a\!+\!b,\,x\ \,mod\,\ a\!+\!b)\\ \rm and\ \ Euclid's\ Lemma\ \color{blue}{(EL)}\!: &&\rm\ (a,\,b\,x)\ =\ (a,x)\ \ \,if\,\ \ (a,b)=1\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\rm So\ \ f \in \Bbb Z[x,y]\Rightarrow &&\rm (a\!+\!b,\, f(\color{#c00}a,b))\stackrel{\color{#f0f}{(EA)}} = (a\!+\!b,\,f(\color{#c00}{-b},b)),\ \ by\, \ \ \color{#c00}{a\equiv -b}\!\!\pmod{a\!+\!b}\\ \rm \Rightarrow &&\rm(a\!+\!b\!,\, (\color{#0a0}{a\!+\!b})^2\! \color{#c00}{- a}bc) = (a\!+\!b\!,{\color{#0a0}0}^2\!+\!\color{#c00}bbc)\!\stackrel{\color{blue}{(EL)}}= \!(a\!+\!b,c)\ \ by\ \, \bigg\lbrace\begin{array}((a\!+\!b,b)\\\rm\, = (a,b)=1\end{array} \end{eqnarray}$