Coordenadas de Eddington-Finkelstein: ¿Por qué $\ln(r-2m)$ en lugar de $\ln|r-2m|$?

Question

Si uno considera la métrica de Schwarzschild

$$ \text d s^2 = -V(r)\text d t^2 + \frac{1}{V(r)}\text d r^2 + r^2 \text d \Omega^2\;,\qquad V(r) = 1-\frac{2m}{r}\;, $$

y se introducen las coordenadas de Eddington-Finkelstein

$$ v = t+f(r)\;,\qquad u = t-f(r)\;, \qquad f'(r) = \frac{1}{V(r)} \;. $$

la singularidad de coordenadas en $r=2m$ desaparece y la métrica es:

$$ \text d s^2 = -V(r)\text d v\text d u + r^2\text d \Omega^2\,. $$

Sin embargo, al integrar $f'$ para obtener $f$, se calcula $$ f(r) = \int \frac{1}{V(r)}\text d r = \int \left( 1+\frac{2m}{r-2m} \right) d r = r + 2m\ln|r-2m| \;. $$

Pero en libros y notas de clase siempre leo $\ln(r-2m)$ en lugar de $\ln|r-2m|$. ¿No está mal? En mi opinión, esto marca una diferencia.

Por ejemplo, al introducir las coordenadas de Kruskal-Szekeres $$ \tan V = \text e ^{\alpha v}\;,\qquad \tan U = -\text e ^{-\alpha u}\;,\qquad \alpha = \frac{1}{4m}\, $$ obtengo $$ \tan V \tan U = -\text e ^{\frac{r}{2m}} |r-2m| $$ en lugar de $$ \tan V \tan U = -\text e ^{\frac{r}{2m}} (r-2m) $$ Pero estos dos casos dan lugar a diagramas de Penrose diferentes.

Entonces, ¿por qué está mal usar el valor absoluto de $r-2m$ en el logaritmo?

PD: Cuando se trata de la métrica de Reissner-Nordström, todos los libros y notas que encuentro sorprendentemente usan el valor absoluto en el argumento del logaritmo. ¿Pero por qué no en el caso de Schwarzschild?

Answer 1

El problema aquí es que las coordenadas de Schwarzschild están divididas en dos parches desconectados por la singularidad de coordenadas en $r=2m$. No hay una conexión física y las dos piezas pueden ser vistas como soluciones separadas.

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein toman la solución externa y la extienden más allá del horizonte, pero dentro del horizonte es diferente de la solución de Schwarzschild más allá de la singularidad de coordenadas.

Una razón matemática simple para la ausencia del valor absoluto sería que el cambio de coordenadas no sería una biyección incluyendo el valor absoluto, ya que la función $v(r,t)=t+r+2m \log|r-2m|$ no es inyectiva en $r\in[0,\infty)$. Como se mencionó anteriormente, el cambio de variables solo se supone que mapea la parte externa del espacio-tiempo $r\in(2m,\infty)$ en las coordenadas de Eddington-Finkelstein.

La parte confusa es que usando $v(r,t)=t+r+2m \log|r-2m|$ de hecho también se puede usar para mapear la parte interna de las coordenadas de Schwarzschild en las coordenadas de Eddington-Finkelstein, pero porque tenemos que requerir que el cambio de coordenadas sea uno a uno, entonces solo podemos definirlo para $r\in(0,2m)$.

Entonces el cambio de coordenadas $v(r,t)=t+r+2m \log|r-2m|$ se puede usar separadamente para las secciones interna y externa de las coordenadas de Schwarzschild para mapearlas en las coordenadas de Eddington-Finkelstein, pero no ambas secciones simultáneamente, es decir, las coordenadas de Eddington-Finkelstein pueden ser vistas como una extensión tanto de la solución interna como de la externa de Schwarzschild pero no pueden incorporar ambas al mismo tiempo.