Mostrando que$\inf\left|x-p\right|$ es continuo

Question

Deje que$X\subset R$ no esté vacío. $f :\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ está definido por$$f(p)=\inf_{x\in X}\left|x-p\right|$$ for every $ p \ in \ Bbb {R}$. How do I show that $ f $ ¿es continuo?

Intenté usar la desigualdad del triángulo inverso y la desigualdad$\inf\left|x-p\right|\leq\left|\inf (x-p)\right|$ para discutir con$\epsilon-\delta$ 's, pero no funciona.

Answer 1

Sugerencia: deberías poder probar la desigualdad$|f(p)-f(q)|\le|p-q|$. Debido a la simetría, es suficiente mostrar$f(p)-f(q)\le|p-q|$, o equivalente$f(p)\le f(q)+|p-q|$.