$\mathbb{Z}[X]/(2x+4,x^2-3) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

Question

Alguien ha hecho una pregunta antes con respecto al anillo$\mathbb{Z}[X]/(2x+4,x^2-3)$, pero la respuesta no fue exactamente lo que estaba buscando. Me preguntaba cómo se mostraría este cociente isomorfo a$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$. Estaba pensando en usar el isomorfismo$$\mathbb{Z}[X]/(2x+4,x^2-3) \cong \frac{\mathbb{Z}[X]/(2x+4)}{(2x+4,x^2-3)/(2x+4)}$$ I've seen problems like this before, but I don't think I even understand the structure of $ \ mathbb {Z} [X] / (2x +4) $.

Answer 1

Tenga en cuenta que$-2 = (X - 2)(2X + 4) - 2(X^2 - 3)$, así que$2 \in (2X + 4, X^2 - 3)$.

Por lo tanto, su anillo es \begin{align*}\Bbb{Z}[X] / (2, X^2 - 3) & \cong (\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})[X] / (X^2 +1)\\ &\cong (\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})[X]/(X+1)^2\\ &\cong (\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})[X]/X^2\end {align*}

que, como ya se señaló, no es isomorfo como un anillo para$\Bbb{Z}/2\Bbb{Z} \times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$.

Answer 2

Sugerencia $\,\ 0\equiv \color{#0a0}{2(2\!+\!x)}\,\Rightarrow\, 0\equiv \color{#0a0}{2(2\!+\!x)}(2\!-\!x) \equiv 2(4-\color{#c00}{x^2})\equiv 2,\, $ por$\,\color{#c00}{x^2}\equiv 3$

Por lo tanto$\ 2\in I=(2x\!+\!4,x^2\!-3)\,\Rightarrow\, I = (2,\, I\ {\rm mod}\ 2) = (2,0,x^2\!+1)$

Por lo tanto$\ \Bbb Z[x]/I \,\cong\, \Bbb Z[x]/(2,x^2\!+1) \,\cong\, \Bbb Z_2[x]/(x\!+\!1)^2\,\cong\,\Bbb Z_2[x]/(x^2),\,$

el anillo de números duales sobre$\,\Bbb Z_2$

Answer 3

Multiplique$X^2=3$ por$2$ y use el hecho$2X=-4$ para probar$0=2$ en el anillo del cociente.

Deducir desde$X^2=3$ todos los elementos parecen$aX+b$, y desde$0=2$ que wlog$a,b\in\{0,1\}$.

Demostrar que$X$ no es$0$ o$1$, es decir, no hay una combinación lineal de$2X+4$ y$X^2-3$ puede producir$X$ o$X+1$.

Observe$(1+X)^2=0$ para que el anillo de cociente sea$\cong\Bbb F_2[\varepsilon]/(\epsilon^2)$, no$\Bbb F_2\times\Bbb F_2$.