Problema: demostrar $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{\cdots\sqrt{n}}}}<3$ por inducción. He probado algunos, pero se detuvo en $\sqrt[2^n]{n+1}$. También lo intentó con $2\sqrt{3\cdots}<3^2$ y así sucesivamente.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esto es en realidad un 'estándar de inducción de la cuestión, cuyo objetivo es hacer que usted piensa acerca de la hipótesis de inducción.
Esto es complicado, porque la inducción no es obvia. Usted probablemente ha intentado aplicar directamente, pero desde
$$ \sqrt{ 2 \sqrt{3 \sqrt{\ldots \sqrt{n} } } } < \sqrt{ 2 \sqrt{3 \sqrt{\ldots \sqrt{n \sqrt{n+1}} } } }, $$
la prueba falla (como se ve por todos los otros eliminados soluciones).
Sin embargo, esta es la declaración que debe introducir en:
Fix $n\geq 2$. Para todos los valores de $2\leq k \leq n$, $\sqrt{ k \sqrt{(k+1) \sqrt{\ldots \sqrt{n} } } } < k+1 $
Realizar la 'inducción' en k, pasando de $k$ $k-1$(frente a la inducción típico en $n$, al pasar de $n$$n+1$).
Específicamente, en el caso base al $k=n$. Este es inmediatamente obvio.
Para la inducción de paso, supongamos que es cierto para algunos $k$. Considere la posibilidad de $k-1$. Esta inducción es inmediatamente obvio desde $(k-1)(k+1) < k^2$.
Por supuesto, podemos ahora obtener una gran cantidad de otros similares, muy interesante, las desigualdades de forma gratuita.
Moral: la Elección de la correcta inducción hipótesis es extremadamente importante.
Nota: yo personalmente llame a este método más Fuerte de Inducción (no es un término estándar en la literatura). Es inteligente elige la hipótesis de inducción basado en las observaciones, e incluye strengthing (y modificando) la inducción de la hipótesis como lo Andre hizo. Puede hacer clic en el enlace para una valoración crítica que hice.
Oli
Puntos
89
Queremos que el control sobre el tamaño de $$a_n=2^{1/2}3^{1/4}4^{1/8}\cdots n^{1/2^{n-1}}.$$ Es conveniente tomar el logaritmo, y muestran que la $\log a_n\lt \log 3$. Pero uno también podría trabajar directamente con el producto.
Como es esencialmente necesario con la inducción de las pruebas de las desigualdades, podemos demostrar el fuerteresultado $$\log a_n=\frac{1}{2}\log 2+\frac{1}{4}\log 3 +\frac{1}{8}\log 4+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}\log n \lt \log 3 -\frac{1}{2^{n-2}}\log n.\tag{1}$$
El caso de $n=2$ no es ningún problema, todo se reduce al hecho de que $\frac{3}{2}\log 2\lt \log 3$. La desigualdad se mantiene, aunque no por mucho.
Para la inducción de paso, supongamos que sabemos que (1) es válida para un determinado $n$. Entonces será suficiente para demostrar que $$\log 3 -\frac{1}{2^{n-2}}\log n+\frac{1}{2^n}\log(n+1)\lt \log 3 -\frac{1}{2^{n-1}}\log (n+1).$$ La manipulación que hace de esta desigualdad es evidente.
