Ambos resultados son en realidad equivalentes. Se puede demostrar uno a partir del otro.
En cuanto al primer resultado:
Dejemos que $\mathcal{C}$ sea una clase de subconjuntos de $\Omega$ bajo intersecciones finitas y que contiene $\Omega$ . Sea $\mathcal{B}$ sea la clase más pequeña que contenga $\mathcal{C}$ que se cierra bajo límites crecientes y por diferencia. Entonces $\mathcal{B} = \sigma ( \mathcal{C})$ .
Algunos libros lo llaman "Teorema de la clase monótona", aunque no es la denominación más habitual.
Una clase que tiene $\Omega$ cerrado bajo límites crecientes y por diferencia se denomina "Dynkin $\lambda$ sistema". Una clase no vacía cerrada bajo intersecciones finitas se llama "Dynkin $\pi$ sistema".
El resultado anterior puede dividirse en dos resultados
1.a. A $\lambda$ sistema que también es un $\pi$ sistema es un $\sigma$ -Álgebra. 1.b. Dado un $\pi$ sistema, el más pequeño $\lambda$ sistema que lo contiene es también un $\pi$ sistema.
Algunos libros llaman al resultado 1 (o al resultado 1.b.) "Dynkin $\pi$ - \lambda Teorema.
Algunas referencias rápidas son https://en.wikipedia.org/wiki/Dynkin_system
El segundo resultado
Dejemos que $G$ sea un álgebra de conjuntos y defina $M(G)$ para ser la clase monótona más pequeña que contiene $G$ . Entonces $M(G)$ es precisamente el $\sigma$ -generada por $G$ es decir $\sigma(G) = M(G)$ .
Cuando una clase monótona en un conjunto $R$ es una colección $M$ de subconjuntos de $R$ que contiene $R$ y es cerrado bajo uniones e intersecciones monótonas contables.
suele llamarse "lema de la clase monótona" (o teorema) y puede encontrarse en libros como el de Folland Análisis real o de Halmos Teoría de la medida . De hecho, Halmos presenta una versión de este resultado para $\sigma$ -anillos.
Dejemos que $G$ sea un anillo de conjuntos y defina $M(G)$ para ser la clase monótona más pequeña que contiene $G$ . Entonces $M(G)$ es precisamente el $\sigma$ -anillo generado por $G$ .
Demostremos que los resultados son equivalentes
Resultado 1 : Dejemos que $\mathcal{C}$ sea una clase de subconjuntos de $\Omega$ bajo intersecciones finitas y que contiene $\Omega$ . Sea $L(\mathcal{C})$ sea la clase más pequeña que contenga $\mathcal{C}$ que se cierra bajo límites crecientes y por diferencia. Entonces $L(\mathcal{C}) = \sigma ( \mathcal{C})$ .
Resultado 2 : Dejemos que $G$ sea un álgebra de conjuntos y defina $M(G)$ para ser la clase monótona más pequeña que contiene $G$ . Entonces $M(G)$ es precisamente el $\sigma$ -generada por $G$ es decir $\sigma(G) = M(G)$ .
Cuando una clase monótona en un conjunto $R$ es una colección $M$ de subconjuntos de $R$ que contiene $R$ y es cerrado bajo uniones e intersecciones monótonas contables.
Prueba :
(2 $\Rightarrow$ 1) . Tenga en cuenta que cualquier clase que contenga $\mathcal{C}$ que es cerrado bajo límites crecientes y por diferencia es cercano por complemento porque $\Omega \in \mathcal{C}$ , por lo que también se cierra por límites decrecientes. Así que es cerrado bajo uniones e intersecciones monótonas contables. Esto significa que cualquier clase que contenga $\mathcal{C}$ que es cerrado bajo límites crecientes y por diferencia es de clase monótona.
Tenga en cuenta también que cualquier clase que contenga $\mathcal{C}$ que se cierra bajo límites crecientes y por diferencia contiene $A(\mathcal{C})$ el álgebra generada por $\mathcal{C}$ .
Entonces, utilizando el resultado 2 tenemos $$ \sigma(\mathcal{C}) = \sigma(A(\mathcal{C})) = M(A(\mathcal{C})) \subseteq L(A(\mathcal{C}))=L(\mathcal{C}) $$ Desde $\sigma(\mathcal{C})$ es una clase que contiene $\mathcal{C}$ que es cerrado bajo límites crecientes y por diferencia, tenemos $L(\mathcal{C}) \subseteq \sigma(\mathcal{C})$ Así que $L(\mathcal{C}) = \sigma(\mathcal{C})$ .
(1 $\Rightarrow$ 2) . Primero demostremos que $M(G)$ es una clase que contiene $G$ que se cierra bajo límites crecientes y por diferencia. Dado que $M(G)$ es monótona, tenemos que $M(G)$ se cierra bajo límites crecientes.
Ahora, para cada $E\in M(G)$ , defina
$$M_E=\{ F \in M(G) : E\setminus F , F \setminus E \in M(G) \}$$
Desde $M(G)$ es una clase monótona, $M_E$ es una clase monótona. Además, si $E\in G$ entonces para todos $F \in G$ , $F\in M_E$ porque $G$ es un álgebra. Por lo tanto, si $E\in G$ , $G \subset M_E$ . Por lo tanto, si $E\in G$ , $M(G) \subset M_E$ . Esto significa que para todos los $E\in G$ y todos $F \in M(G)$ , $F \in M_E$ . Por lo tanto, para todos $E\in G$ y todos $F \in M(G)$ , $E \in M_F$ . Por lo tanto, para todos $F \in M(G)$ , $G \subset M_F$ pero como $M_F$ es una clase monótona, tenemos, para todo $F \in M(G)$ , $M(G)\subset M_F$ . Pero eso significa que $M(G)$ se cierra por diferencias.
Así que probamos que $M(G)$ es una clase que contiene $G$ que se cierra bajo límites crecientes y por diferencia.
Así que por el resultado 1, $$\sigma(G)=L(G) \subseteq M(G)$$ Desde $\sigma(G)$ es una clase monótona, tenemos $$ M(G) \subseteq \sigma(G)$$ Así que tenemos $$\sigma(G)= M(G)$$
