¿Este PDE tiene una solución?

Question

Deje $U_0 \subset \mathbb{R}^3$ ser un barrio de $0$ e $X:U_0 \to\mathbb{R}^3$ suave, un campo de vectores, de tal manera que $$X(x,y,z) = (X_1(x,y,z),1,0). $$

donde $X_1:U_0 \to\mathbb{R}$, satisface las siguientes hipótesis:

• $X_1(x,0,z) =0,$ $\forall$ $(x,0,z)$ $\in$ $U_0$.
• $\frac{\partial}{\partial x}X_1(x,0,z)=\frac{\partial}{\partial y}X_1(x,0,z) =0$, $\forall$ $(x,0,z) \in U_0$
• $\frac{\partial}{\partial y}X_1(x,0,z)\neq 0$ $\forall (x,0,z) \in U_0$
• $X_1(0,0,0)=(0,0,0)$.

Necesito encontrar un cambio de coordenadas $\varphi: W_0\subset \mathbb{R}^3 \to V_0\subset \mathbb{R}^3$ ($\varphi(0)=0$), de tal manera que $$Z(x,y,z) = \text{d}\varphi_{\varphi^{-1}(x,y,z)}X(\varphi^{-1}(x,y,z)) = (y,1,0) $$ o $$Z(x,y,z) = \text{d}\varphi_{\varphi^{-1}(x,y,z)}X(\varphi^{-1}(x,y,z)) = (-y,1,0). $$

El problema que estoy mirando no me permite meterse hasta la z y la y-los ejes de mi sistema de coordenadas.

Una forma natural de resolver este problema es tratar de encontrar este cambio de coordenadas en el siguiente formulario $$\varphi(x,y,z) = (f(x,y,z),y,z).$$

(con $\frac {\partial f}{\partial x} (0) \neq 0$ e $f(0,0,0)=0$). Si este coordinar cambio de obras, tendríamos

$$Z(\varphi(x,y,z)) = \text{d}\varphi(x,y,z) \cdot X(x,y,z)$$ $$(\pm y,1,0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) X_1(x,y,z) + \frac{\partial f}{\partial y} (x,y,z) ,1,0 \right) .$$

Y entonces mi pregunta, ¿alguien sabe si este PDE tiene una solución?

$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) X_1(x,y,z) + \frac{\partial f}{\partial y} (x,y,z)= \pm y,$$ $$f(0,0,0)=0,$$ $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0,0) \neq 0. $$

Answer 1

La idea principal es utilizar la característica del método. Es motivado por la siguiente ecuación: $$\langle \left(\nabla f\circ \gamma\right)(t), \gamma'(t) \rangle = g(t).$$ The curve $\gamma$ es llamado la característica cuve.

La primera igualdad se sigue de la regla de la cadena: recuerde que:

$$\frac{d}{dt}f\circ \gamma(t) = \langle \nabla f\circ \gamma(t),\gamma'(t)\rangle. $$

Tenga en cuenta que $$\langle \left(\nabla f\circ \gamma\right)(t), \gamma'(t) \rangle = g(t) = \sum_{j=1}^3\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{dx^i}{dt},$$ por lo tanto, uno convertir el PDE en un sistema de educación a distancia. Después de todo, aislar $t$ recuperar la dependencia de las coordenadas.

Por lo tanto, uno debe buscar soluciones para el problema:

$$\frac{dx}{dt} = X_1(x,y,z),$$ $$\frac{dy}{dt} = 1,$$ $$\frac{df}{dt} = \pm y,$$ y $\frac{dz}{dt}$ puede ser libre.

Entonces, uno tiene:

$$y(t) = t + c,$$ así $$\frac{df}{dt} = \pm (t+c),$$ y por lo tanto, $$f(t) = \pm(\frac{t^2}{2} + ct) + d.$$

Una vez $t = y - c,$ tenemos:

$$f(x,y,z) = \pm((y-c)^2 + c(y-c)) + d.$$

Ahora, queremos relacionar nuestro ecuación con $X_1.$ una Vez $t = y -c$, uno tiene que $\frac{dx}{dt} = \frac{dx}{dy}$. Por lo tanto, tenemos:

$$\frac{dx}{dy} = X_1(x,y,z).$$ This is a non autonomous ODE. To finish, convert this equation on an autonomous equation and impose your initial data, this must determine $x$ in terms of $s$. Use inverse theorem to obtain your function $f$ in terms of $X_1$. Puedo agregar más detalles si es necesario.

Tenga en cuenta que la solución que hemos obtenido si una función de $y$. Desde que se desea obtener una solución en términos de $x$ puede seguir dos caminos:

$1)$ Lugar de aislar $t = y-c$ usted puede simplemente conectar $y = t+c$ en la ecuación de $x$, obteniendo:

$$\frac{dx}{dt} = X_1(x,t+c,z).$$

Esto es un no autónomos de la educación a distancia. Usted obtendrá una solución de $x(t)$. Por lo tanto, debe aislar $t$ en términos de $x$, y a continuación, conecte este en la expresión de $f(t)$ obtener $f$ en términos de $x, X_1.$

$2)$ Seguir el camino que me sugirió en primer lugar. Resolver la ecuación de $x(y)$. Esto es a lo que me refería al principio. Pero $1)$ parece más natural, aunque conduce a la misma respuesta.