4 profesores y 7 estudiantes deben sentarse en 11 sillas. ¿Cuál es la probabilidad de que cada profesor esté entre 2 estudiantes?

Question

4 profesores y 7 estudiantes estarán situados en 11 sillas. ¿Cuál es la probabilidad de que cada profesor es entre 2 estudiantes?

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Mis pensamientos: No es $11!$ de los resultados. Buenas: en primer lugar nos encargamos de los profesores en $4!$ maneras, a continuación, ponemos 7 sillas de manera que en el lado izquierdo y el derecho, al menos, una silla y entre cada dos de profesor es una silla. Que podemos hacer en ${6\choose 2}$ maneras por la resolución de la ecuación $$a+b+c+d+e = 7$$ where $a,b,c,d,e$ son números naturales.

Ahora nos encargamos de los estudiantes en sillas vacías, y que podemos hacer en $7!$ maneras. Por lo que la probabilidad es $$P = {4!\cdot 15\cdot 7!\over 11!}$$

Es eso correcto?

Answer 1

Se ve bien. Puedo obtener el mismo resultado mediante el razonamiento de la siguiente manera:

• $7$ a los estudiantes en una fila dar $6$ "slots" donde colocar los profesores en el medio.
• Hay $\binom 6 4$ formas de elegir las ranuras.
• Los estudiantes y los profesores dan a $7!\cdot 4!$ arreglos para cada forma de elección de los "slots" $$\frac{\binom 6 4 \cdot 4! \cdot 7!}{11!}$$

Answer 2

Actualización: esto es incorrecto. Vea los comentarios al final.

La mía es un poco diferente. Primero vamos a suponer que todos los estudiantes son idénticos, y todos los profesores son idénticos, por lo que sólo organizar los patrones. Dos estudiantes deben sentarse en los dos extremos (de lo contrario, a los profesores, en los extremos no sería entre los estudiantes). Ahora tenemos 5 estudiantes y 4 profesores, de sentarse en el medio de 9 asientos. Ya que sólo hay un alumno más que los profesores, en la mayoría de los, dos alumnos pueden sentarse juntos (ignorar a los dos estudiantes en los extremos). En el caso en el que no hay dos alumnos sentados juntos, sólo hay un patrón: +101010101+ donde + stands para los estudiantes sentados en los extremos; en el caso de que dos alumnos sentados juntos, tenemos 5 lugares para ellos. Por lo tanto, tenemos 6 modelos en total. Ahora, con cada patrón, tenemos 4!7! formas de organizar a los estudiantes y profesores. Así, la probabilidad de que el bien es $\frac{6\cdot 4!\cdot 7!}{11!}$.

Bueno, después de pensar un poco, la mía es incorrecta. Podemos tener más de dos alumnos sentados juntos. El anterior es más simple y más elegante, y más importante, la correcta!