Construcción de una función biyectiva a través de una inyectiva y suryectiva.

Question

Supongamos que $\;f_1,\;f_2:\;A\to B$ tal que $f_1$ es inyectiva y $f_2$ es suryente.

Estaba tratando de averiguar si existe $f_3:\;A\to B$ tal que $f_3$ es biyectiva. ¿Es posible construirlo a partir de $f_1$ y $f_2$ ?

Intenté demostrar la afirmación de forma no constructiva mediante un argumento de cardinalidad, pero acabé dando muchas vueltas (es decir, como la cardinalidad es la misma, existe una biyección, un poco de razonamiento circular). Pero me interesaría más un argumento basado en la construcción, ya que no se me ocurre ninguno.

Answer 1

Asumiendo la elección, sí.

La suryección se puede invertir, así que tienes dos inyecciones y el Cantor-Bernstein termina el trabajo.

Tenga en cuenta que si $B$ está vacío, entonces $A$ está vacío, ya que hay una inyección de $A$ a $B$ .

Sin embargo, sin elección, hay una inyección de $\Bbb R$ en $[\Bbb R]^\omega$ el conjunto de subconjuntos contablemente infinitos de $\Bbb R$ y también hay una suryección (fijar una biyección entre $\Bbb R$ y $\Bbb{R^N}$ y luego mapear cada secuencia a su rango, o a los números naturales si el rango es finito).

Pero un teorema de Sierpinski muestra que si existe una biyección entre $\Bbb R$ y $[\Bbb R]^\omega$ entonces hay conjuntos sin la propiedad de Baire y conjuntos no medibles. Como es consistente que todos los conjuntos tengan la propiedad de Baire, o que todos los conjuntos sean medibles de Lebesgue, en tales modelos no hay biyección entre los dos conjuntos.

(Hay otros ejemplos de este tipo, por ejemplo $\Bbb R$ y $\Bbb{R/Q}$ .)

Answer 2

Afirmación 1: En ZFC $f:A\to B$ implica que existe inverso derecho .

Prueba de ello: Sea $\forall x\in B(C_x=\{y\in A\mid f(y)=x\})$ y definir $C$ la colección de todos los $C_x$ .

Porque $f$ es una función tenemos $\bigcup C=A$ y también $x\ne y\implies C_x\cap C_y=\emptyset$ . Ahora dejemos que $h$ sea una función de elección $h:C\to\bigcup C$ Por último, definiremos $g:B\to A,g(x)=h(C_x)$ .

Ahora, $f(g(x))=f(h(C_x))=f(y)=x$

Afirmación 2: la inversa de la derecha es inyectiva.

Prueba: dejemos que $x\ne y$ entonces $C_x\cap C_y=\emptyset$ Si es así $h(C_x)\ne h(C_y)\implies g(x)\ne g(y)$ .

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Ahora usando el teorema de Schröder Bernstein sobre $f_1$ y el inverso de la derecha de $f_2$ se obtiene $|A|=|B|$ por lo tanto, existe una biyectiva $f_3:A\to B$