Encuentre todos los números complejos$z$ que satisfagan la ecuación$z^3=-8$

Question

Problema

Encontrar todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación de $z^3=-8$

Intento resolver

La solución real es bastante fácilmente computable o más específicamente compleja solución en la que la parte imaginaria es cero.

$$ z^3=-8 \iff z_1 = \sqrt[3]{-8}=-2 $$

Ahora WolframAlpha sugiere que otras soluciones complejas sería :

$$ z_2 = 1 - i\sqrt{3} $$ $$ z_3 = 1 + i\sqrt{3} $$

El único problema es que no tengo ni idea de cómo deducir estos. He oído algo sobre el uso de polar en forma de número complejo y, a continuación, el aumento de argumento por $2\pi$ , así que tenemos todas las raíces. Me falta la intuición sobre cómo funcionaría.

Yo podría tratar de representar a nuestro complejo de número de $-2$ en polar

$$ re^{i \theta} $$

Computación en la radio a través de teorema de pitágoras

$$ r=\sqrt{(-2)^2+(0)^2} = \sqrt{4}=2 $$

que es bastante intuitivo incluso sin el teorema de pitágoras desde nuestra parte imaginaria es $0$ así "radio" tiene que ser el mismo que la parte real, sólo que sin el $-$ signo.

nuestro punto de vista sería $\pi$ radianes desde nuestro número complejo se $-2+i \cdot 0$.

Obtenemos:

$$ 2e^{i\pi} $$

En la actualidad aumenta por cada $2\pi$

$$ 2e^{i3\pi},2e^{i5\pi},2e^{i7\pi},\dots $$

que no tiene ningún sentido desde que terminamos en el mismo lugar una y otra vez desde $2\pi$ en radianes es un círculo completo, por definición.

Answer 1

$z^3+8=0;$

$(z+2)(z^2-2z +2^2)=0;$

$z_1=-2;$

Resolver ecuación cuadrática:

$z_{2,3} = \dfrac{2\pm \sqrt{4-(4)2^2}}{2}$ ;

$z_{2,3}= \dfrac{2\pm i 2√3}{2}.$

Answer 2

Sabemos que debido a la $^3$ que habrá tres raíces. Con razón se determinó que el módulo de las raíces es $2$. El truco cuando se utilizan coordenadas polares es agregar $\frac{2\pi}{x}$, donde $x$ es el número de raíces que tenemos, para el argumento. Así que en este caso habría que agregar $\frac{2\pi}{3}$ para el argumento.

Esto le da a $z = 2e^{i\pi}, 2e^{\frac{5\pi}{3}i}, 2e^{\frac{\pi}{3}i}.$

Answer 3

En lugar de tener $-2$ en coordenadas polares, use $-8$ : $$-8=8e^{i\pi}$ $ agregando repetidamente $2\pi i$ al exponente y el enraizamiento del cubo da todas las raíces cúbicas: $$2e^{i\pi/3}\qquad 2e^{i\pi}\qquad 2e^{5i\pi/3}$ $ Estos pueden volver a convertirse en coordenadas cartesianas como $-2$ y $1\pm\sqrt3i$ .

Answer 4

Muy bien, entonces tenemos $z^3=8e^{i(\pi+2\pi k)}$ por cada $k\in\mathbb{Z}$. Ahora para encontrar a $z$ debemos de tomar la tercera raíz del módulo y dividir el argumento por $3$. Así, obtenemos $z=2e^{i(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}k)}$. Así que ahora se calcula para $k\in\{0,1,2\}$, después de que las raíces se repita. Así, por $k=0$ obtenemos:

$z_1=2e^{i\frac{\pi}{3}}=2(\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3}))=1+i\sqrt{3}$

Ahora pon $k=1$ e $k=2$ encontrar otras raíces.

Answer 5

Cuando nos ocupamos de las exponenciales, el $re^{i\theta}$ formulario a menudo es más conveniente.

Sabemos que la magnitud de la $-8$ es $8$, por lo que la magnitud de $z$ es $\sqrt[3]8=2$.

Así, sabemos que $$(2e^{i\theta})^3=-8\to e^{i\cdot3\theta}=-1$$

Sabemos que $e^{i\pi}=-1$, por lo que buscamos todos los $\theta$ tal que $3\theta = 2\pi\cdot n+\pi$. Encontramos las respuestas a $$\frac\pi3,\pi,\frac5{3\pi}$$so we know that our answers are $$2e^{i\frac\pi3},2e^{i\pi},2e^{i\frac{5\pi}3}$$

La a+bi forma de estos números complejos es $$\color{red}{-2,1\pm\sqrt3i}$$