Estoy tratando de calcular ideal de clase de los grupos de los diversos campos de número, y ahora estoy un poco familiar para un grupo de clase de una ecuación cuadrática campo de número. Sin embargo, no puedo encontrar cualquier no-cíclico ejemplo de un grupo de clase de un cúbicos campo de número. En Marcus' "Campos de Número de" libro, hay algunos ejercicios que lidiar con $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{m})$ por entero $m$, pero cada ejercicio tiene un cíclica del grupo de clase. ¿Hay algún buen ejemplo de un cúbicos número de campo que tiene una clase de grupo isomorfo a la Klein 4-grupo? ¿Biquadratic o cuártica campos? (Creo que no se puede hacer con quintic cosas...) Gracias de antemano. Hasta ahora, he calculado los grupos de la clase de $\mathbb{Q}(\sqrt{223}), \mathbb{Q}(\sqrt{226}), \mathbb{Q}(\sqrt{-30}), \mathbb{Q}(\sqrt{-89})$.
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Este ejemplo siguiente se encontró a través de un equipo de búsqueda simple integral de base y pequeñas discriminante, por lo que el discriminante es fácil de calcular, y la de Minkowski obligado es pequeño.
No estoy seguro de si esto es suficiente como un buen ejemplo, sin embargo: El único método que conozco de la computación de la clase de grupo es el básico a través de Minkowski del obligado y este ejemplo todavía un poco de cálculo ya que el obligado es bastante grande en $<38$. Yo no era capaz de encontrar un cúbicos de extensión, $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$ grupo de clase con pequeños brincos.
Las estadísticas también fue comprobado en Sagemathcell para estar seguro.
Deje $f(x) = x^3 + 11x+21\in\mathbb Z[x]$.
- 1.
2. Deje $\alpha \in \mathbb C$ ser una raíz de $f(x)$ y considerar el campo de número de $K=\mathbb Q(\alpha)$.
Podemos mostrar que $\{1,\alpha,\alpha^2\}$ es una parte integral de la base y del $K$ tiene la primera discriminante $-17231$.
3. Por lo tanto Minkowski obligado $$M_K=\frac{8}{9\pi} \sqrt{17231} < 38,$$ and we can find the list of non-principal ideals for each prime $\leq 37$.
4. Finalmente podemos demostrar que el grupo de clase $H(K)$ de $K$ es $H(K)\cong \mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$, con generadores de $$<3,\alpha>,<3,\alpha-1>$$
Edit 1: comprobamos que $<3,\alpha>,<3,\alpha-1>$ es de orden 2. Vamos $$ \begin{align} I &:= <3,\alpha>^2 = <9,3\alpha,\alpha^2>\\ J &:= <3,\alpha-1>^2 = <9,3\alpha-3,\alpha^2-2\alpha+1> \end{align} $$
Pretendemos que $$ \begin{align} <9,3\alpha,\alpha^2> &= <2\alpha^2 - 3\alpha + 27>\\ <9,3\alpha-3,\alpha^2-\alpha+1> &= <\alpha+2> \end{align} $$
Claramente, tenemos $$ 2\alpha^2 - 3\alpha + 27 \<9,3\alpha,\alpha^2> \implica <2\alpha^2-3\alpha+27> \subseteq <9,3\alpha,\alpha^2> $$ Obtenemos $$ \begin{align} -(\alpha^2+3\alpha+2)(2\alpha^2 - 3\alpha + 27) &= 9\\ (\alpha^2 + 6\alpha + 7)(2\alpha^2 - 3\alpha + 27) &= \alpha^2 \end{align} $$ Por lo tanto, $9,\alpha^2\in <2\alpha^2 - 3\alpha+27>$, que a su vez da $3\alpha\in <2\alpha^2 - 3\alpha + 27>$. Por lo tanto $$ \begin{align} <9, 3\alpha,\alpha^2> &\subseteq <2\alpha^2 - 3\alpha + 27>\\ \implies <9, 3\alpha,\alpha^2> &= <2\alpha^2 - 3\alpha + 27> \end{align} $$ Esto muestra la primera de equivalencia. Por otro lado, $$ \begin{align} (\alpha^2-2\alpha+15)(\alpha+2) &= 9\\ 3(\alpha+2)-9 &= 3\alpha-3\\ (\alpha+2)^2-2(3\alpha-3)-(9) &= \alpha^2-2\alpha+1 \end{align} $$ Por lo tanto, $9,3\alpha-3,\alpha^2-2\alpha+1\in <\alpha+2>$. Para el reverso de contención, $$ \begin{align} (\alpha + 2)(\alpha^2 - 2 \alpha + 1) + 5 (3 \alpha - 3) + 4 (9) &= \alpha+2 \end{align} $$ muestra que $\alpha+2 \in <9,3\alpha-3,\alpha^2 - 2\alpha+1>$. Por lo tanto $$ <9,3\alpha-3,\alpha^2-2\alpha+1> = <\alpha+2> $$
Otro ejemplo podría ser $f(x) = x^3+8x+60$ integral con base $\{1,\alpha,\alpha^2/2\}$.
El uso de las matemáticas motor, como PARI/GP uno puede comprobar que el grupo de clase de los polinomios de la forma $x^3-a$. Para $a>0$ tenemos que el primer polinomio con la raíz de $\alpha$ para que $\mathbb{Q}(\alpha)$ tiene un no-cíclico de la clase de grupo es $65$. De hecho, tenemos que el grupo de clase de $x^3-65$ es $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$.
En el otro lado de la $a=113$ es el más pequeño de $a$ s.t. $\mathbb{Q}(a)$ tiene Klein 4-grupo como un grupo de clase, donde $\alpha=\sqrt[3]{113}$. Entre las $a'$s la producción de no-cíclico de los grupos de la clase se $70, 86, 91, 110$ , y para todos ellos o $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{a})$ ha $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ como un grupo de clase.
Sin embargo, considerando el tamaño del discriminante y tener que calcular al menos $20$ unos ideales (por no hablar de combinar más adelante) mediante el uso de Minkowski seguramente será demasiado tedioso para hacerlo a mano.
Aquí es un detallado cálculo de grupo de clase de $\mathbb{Q}(\alpha)$, $\alpha^3+11\alpha +21=0$, el ejemplo dado por @Yong Hao Ng. Quiero ilustrar los siguientes dos máximas en el cálculo de la teoría algebraica de números:
- El cálculo de los ideales de la clase de grupo es intratable
- El conocimiento de las unidades y del grupo de clase a menudo se complementan
Denotar $K=\mathbb{Q}(\alpha)$, el discriminante es $-17231$, por lo tanto una parte integral de las bases es $\{1,\alpha,\alpha^2\}$.
1.Búsqueda de generadores y relaciones
Este es generalmente el primer paso (para número de campo) en el cómputo del grupo de clase en casi cualquier algoritmo: factor de un gran número de ideales con los pequeños de la norma, produciendo un sistema lineal, a continuación, identificar las posibles generadores.
Primero debemos factores primos más pequeños que el de Minkowski obligado, los números primos no se muestran a continuación son inertes. $$\begin{aligned}(3)&=(3,\alpha)(3,\alpha-1)(3,\alpha+1) \\ (7)&=(7,\alpha)(7,\alpha^2-3)\\ (11)&=(11,\alpha-1)(11,\alpha^2+\alpha+1)\\ (13)&=(13,\alpha+3)(13,\alpha^2-3\alpha-6)\\ (17)&=(17,\alpha-2)(17,\alpha^2+2\alpha-2)\\ (19)&=(19,\alpha+7)(19,\alpha^2-7\alpha+3)\\ (23)&=(23,\alpha-8)(23,\alpha^2+8\alpha+6)\\ (29)&=(29,\alpha+4)(29,\alpha+6)(29,\alpha-10)\\ \end{aligned}$$ Deje $$\mathfrak{p}_1=(3,\alpha),\mathfrak{p}_2=(3,\alpha-1),\cdots,\mathfrak{p}_{17}=(29,\alpha+6),\mathfrak{p}_{18}=(29,\alpha-10)$$ que son nombradas en su orden de aparición. Ahora nos encontramos con elementos con los pequeños de la norma: $$N(\alpha) = -3\times 7 \qquad N(\alpha+1)=-3^2 \qquad N(\alpha-1)=-3\times 11 \qquad N(\alpha+3)=-3\times 13$$ $$N(\alpha+4)=3\times 29 \qquad N(\alpha^2+\alpha-2)=-3^3\times 11 \qquad N(\alpha^2-\alpha-2)=3^3\times 17$$ $$N(\alpha^2-\alpha+1)=3\times 13\times 19 \qquad N(\alpha^2-2\alpha-2)=3\times 13\times 23 \qquad N(3\alpha-1)=-23\times 29$$ $$N(4\alpha-1)=-3^2\times 13^2 \qquad N(4\alpha+7)=3\times 7\times 11 \qquad N(4\alpha+9)=3\times 17\times 19$$
Ahora nos factor, a continuación, en $\mathfrak{p}_n$. Por ejemplo, para el factor de $(\alpha)$, tenemos tres posibilidades: $$(\alpha) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_4 \qquad \mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_4 \qquad \mathfrak{p}_3\mathfrak{p}_4$$ Descarto las dos últimas. Si $(\alpha) = \mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_4 = (3,\alpha+2)(7,\alpha-7)$, a continuación, $(\alpha+2)(\alpha-7)/\alpha \in \mathcal{O}_K$, pero este número no es integral. Si $(\alpha) = \mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}_4 = (3,\alpha-2)(7,\alpha-7)$, a continuación, $(\alpha-2)(\alpha-7)/\alpha \in \mathcal{O}_K$, esto ni es integral así. Por lo tanto $(\alpha) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_4$. Al igual, podemos tener otros ideales, dando $$(\alpha) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_4 \qquad (\alpha+1) = \mathfrak{p}_3^2 \qquad (\alpha-1) = \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_6 \qquad (\alpha+3) = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_8 $$ $$(\alpha+4) = \mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}_{16} \qquad (\alpha^2+\alpha-2) = \mathfrak{p}_2^3 \mathfrak{p}_6 \qquad (\alpha^2-\alpha-2) = \mathfrak{p}_3^3 \mathfrak{p}_{10}$$ $$(\alpha^2-\alpha+1) = \mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}_8 \mathfrak{p}_{12} \qquad (\alpha^2-2\alpha-2) = \mathfrak{p}_2 \mathfrak{p}_8 \mathfrak{p}_{14} \qquad (3\alpha-1) = \mathfrak{p}_{14} \mathfrak{p}_{18}$$ $$(4\alpha-1) = \mathfrak{p}_2^2 \mathfrak{p}_8^2 \qquad (4\alpha+7) = \mathfrak{p}_3 \mathfrak{p}_4 \mathfrak{p}_6 \qquad (4\alpha+9) = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_{10} \mathfrak{p}_{12}$$
Ahora tenemos $21$ relaciones, y $18$ 'variables', por lo tanto la formación de la correspondiente $21\times 18$ matriz $A$, el rango es $18$, aplicar Smith forma normal en él, da $$\begin{pmatrix} 1 & & & & & & & & & & & & & & & & 1 & 1 \\ & 1 & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & & & & & & & & 1 & 1 \\ & & & 1 & & & & & & & & & & & & & 1 & 1 \\ & & & & 1 & & & & & & & & & & & & 1 & 1 \\ & & & & & 1 & & & & & & & & & & & 1 & \\ & & & & & & 1 & & & & & & & & & & 1 & \\ & & & & & & & 1 & & & & & & & & & 1 & 1 \\ & & & & & & & & 1 & & & & & & & & 1 & 1 \\ & & & & & & & & & 1 & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & & 1 & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & & & 1 & & & & & 1 & \\ & & & & & & & & & & & & 1 & & & & 1 & \\ & & & & & & & & & & & & & 1 & & & & 1 \\ & & & & & & & & & & & & & & 1 & & & 1 \\ & & & & & & & & & & & & & & & 1 & 1 & 1 \\ & & & & & & & & & & & & & & & & 2 & \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & 2 \end{pmatrix} \vec{v} = 0$$ donde $\vec{v}$ es la columna de la forma de la matriz por $\mathfrak{p}_{18},\mathfrak{p}_{17},\cdots,\mathfrak{p}_1$. Formulario de esto, vemos que el ideal de la clase de grupo es generado por $\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2$, e $\mathfrak{p}_1^2, \mathfrak{p}_2^2$ son principales. También tenga en cuenta que $\mathfrak{p}_{17}$ que es lo principal, un hecho altamente no evidentes. Sin embargo, aun no podemos concluir que el grupo de clase es $C_2\times C_2$. Para mostrar esto, tenemos que comprobar:
- $\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2$ no son principales.
- $\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2$ pertenece realmente distintas ideal de las clases.
Tanto las balas no son triviales para probar. A continuación les presento una manera que nos dicen con "alta confianza" el número de la clase es $4$, por lo tanto $C_2\times C_2$ debe ser el grupo de clase. Tengo un ad hoc (es decir, no es la misma clase general de grupo algoritmo) idea de riguroso establecimiento de este, pero el procedimiento tarda mucho más que el que se presenta a continuación. Tanto el sector no estructurado y riguroso método requiere el conocimiento de la unidad fundamental.
2. Unidades fundamentales
Ahora nos encontramos con una unidad fundamental de $K$. Para el número general de campo, un sistema de unidades independientes se pueden encontrar mediante el cálculo de las (a la izquierda) nullspace de arriba matriz de coeficientes $A$. En nuestro ejemplo, $$\vec{u}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -2 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$ es una izquierda null-vector de $A$ (es decir, $\vec{u} A$ es el vector cero), esto nos dice, en términos de ideales $$(3)^2 (\alpha+1)^{-1} (\alpha-1)^2 (\alpha+3)^{-2} (\alpha^2+\alpha-2)^{-2} (4\alpha-1) = (1)$$ Por lo tanto $$v = \frac{{9{{(\alpha - 1)}^2}(4\alpha - 1)}}{{(\alpha + 1){{(\alpha + 3)}^2}{{({\alpha ^2} + \alpha - 2)}^2}}} = 215-25\alpha +16\alpha^2 $$ is a nontrivial unit. After embedding $K$ into $\mathbb{R}$ via $\alpha \a -1.56238$, we have $v = 293.116$. We show $v$ es fundamental, por cúbicos de campo con sólo una real incorporación, esto se puede hacer a través de
Deje $u>1$ ser la unidad fundamental de un verdadero cúbicos de campo con una real incorporación, a continuación, $$u^3 > \frac{|\delta|-27}{4}$$ where $\ delta$ es el discriminante del campo.
La aplicación de este tenemos $u>16.2626$, por lo tanto tenemos que mostrar $\sqrt{v} = 17.1206$ no es en $K$. No hay hoteles manera de comprobar esto: tenga en cuenta que $101\mid (6^3+11\times 6+21)$, tenemos un homomorphism (mapa siempre existe para monogénicas número de campo): $$\mathcal{O}_K \to \mathbb{F}_{101}: \alpha \mapsto 6$$ a continuación, $v$ envía a $215-25\times 6+16\times 6^2$, que se puede comprobar no es un residuo cuadrático módulo $101$. Ahora podemos fácilmente calcular el regulador $R$, que es $5.68057$.
3. El número de clase
La analítica de la clase número de fórmula dice $$\frac{hR}{w} = 2^{-r_1} (2\pi)^{-r_2} \sqrt{|\delta|} \prod_p \frac{1-1/p}{\prod_{\mathfrak{p}|p} (1-1/N(\mathfrak{p}))}$$
Ahora hemos aproximado el producto por tomar un número finito de términos: $$h \approx \frac{R}{2\pi} \sqrt{17231} \prod_{p\leq 29} \frac{1-1/p}{\prod_{\mathfrak{p}|p} (1-1/N(\mathfrak{p})} = 4.27026$$ Si contamos primera $100$ de los números primos, a continuación, $h\approx 4.10765$. Así que tenemos la suficiente confianza de que $h=4$. Esto demuestra la clase de grupo de $K$ es $C_2 \times C_2$.
