Caracterizaciones categóricas de las propiedades del anillo.

Question

Mirando la lista interesante de anillo de propiedades que se heredan de un anillo de $\mathcal{R}$ por su polinomio anillo de $\mathcal{R}$[X] y recordando una pregunta una vez le pregunté quiero repetir el último de una manera más general:

Se puede dar el anillo de propiedades con la pegadiza categórica caracterizaciones como estos:

• Un anillo de $\mathcal{R}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ fib es un objeto inicial en la categoría de anillos.

• Un anillo de $\mathcal{R}$ tiene características de las $0$ fib de los morfismos de $\mathbb{Z}$ es un monomorphism.

¿Cómo ser conmutativa, factorial, Noetherian, Abelian, o una integral de dominio?

[Nota de que la propiedad de tener una identidad multiplicativa (es decir, de ser unital) no tiene que ser definido, porque se presupone en la categoría de anillos.]

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Lista de las caracterizaciones de las respuestas a continuación:

• Un anillo de $\mathcal{R}$ es Noetherian iff cada ascendente de la cadena de fuerte epimorphisms es estacionaria.

• Un anillo de $\mathcal{R}$ es finitely presentó el fib es un objeto compacto.

• Un anillo de $\mathcal{R}$ es isomorfo a cero anillo iff es un terminal de objeto.

• Un anillo conmutativo $\mathcal{R}$ es un campo de iff cualquier epimorphism de que es un isomorfismo o un morfismos de la zero anillo.

• Un anillo de $\mathcal{R}$ es una integral de dominio iff hay un monomorphism de $\mathcal{R}$ a un campo.

Answer 1

Existe una noción de noetherian objeto en cualquier categoría, que es simplemente que cada ascendente de la cadena de subobjetos es estacionaria. Con esta definición, noetherian objetos en la categoría de módulos sobre un anillo son simplemente noetherian módulos; sin embargo, los ideales no son subrings (ya que en general no contienen el elemento de identidad), por lo que noetherian objetos en la categoría de unital anillos no noetherian anillos.

Esto es fácil de arreglar, al menos para la categoría de anillos conmutativos, sin embargo : cada ascendente de la cadena de ideales $$I_0\subset I_1\subset\dots \subset I_{n}\subset I_{n+1}\subset \dots,$$ en un anillo conmutativo $R$ induce un ascendente de la cadena de anillos cociente $$R/I_0\to R/I_1\to\dots\to R/I_n\to R/I_{n+1}\to \dots$$ y el original de la cadena de ideales es estacionario si y sólo si la cadena de cocientes. Ahora cociente mapas son sólo el surjective mapas, que son la misma cosa tan fuerte o regular epimorphisms en la categoría de anillos conmutativos (o en cualquier "algebraica" de la categoría). Por lo tanto noetherian conmutativa anillos son precisamente aquellos para los que cada ascendente de la cadena de fuerte epimorphisms es estacionaria, lo que uno podría llamar "fuertemente co-noetherian objetos".

Para un no-conmutativa anillo, esta condición es equivalente a cada ascendente de la cadena de dos caras ideales de ser estacionario, pero no dice nada acerca de la izquierda y la derecha ideales.

Answer 2

El finitely presenta anillos son objetos compactos de la categoría de los anillos. Es decir, los objetos de $R$ tal que el functor $\hom(R,-)\colon \mathrm{(Ring)}\to\mathrm{(Set)}$ conserva filtrada colimits. De hecho, esto se aplica a cualquier variedad de álgebras de, por ejemplo, de Jiří Adámek, Jiří Rosický, Localmente Presentable y Accesible Categorías, Corolario 3.13.

Answer 3

Un anillo es isomorfo a cero anillo iff es un terminal de objeto en la categoría de anillos.

Un anillo conmutativo es un campo iff cualquier epimorphism de que es un isomorfismo o un morfismos a cero del anillo. (Ya que no todos epimorphism en la categoría de los anillos es surjective, esto no es instantáneo, pero ver Lema 10.106.8. Como alternativa, se puede reemplazar "epimorphism" con "fuerte epimorphism" dado @Arnaud D. la clasificación de surjective homomorphisms tan fuerte epimorphisms.)