Cómo demostrar la semidefinición positiva o la desigualdad integral

Question

Intento demostrar que la siguiente matriz es semidefinida positiva (PSD):

$$H=\left[\begin{array}{cc} \int v(x)\,dx & \int xv(x)\,dx\\ \int xv(x)\,dx & \int x^2v(x)\,dx \end{array}\right]$$

donde $v(x)$ es una función diferenciable de signo desconocido.

La definición de PSD exige que para todos los $w,z \in \mathbb{R}$ , $$w^2 \int v(x)dx + 2wz\left(\int xv(x)\,dx\right)^2+z^2\int x^2v(x)\,dx \geq 0$$

Incluso si asumo $v(x) \geq 0$ (Tengo $x\geq0$ ), no parece que la desigualdad de Holder sea útil para llegar al resultado deseado.

Alternativamente, suponiendo que $\int v(x) dx \geq 0$ intenté demostrar que el determinante de $H$ es positivo, pero eso tampoco llevó a ninguna parte.

¿Existen otras vías?

Answer 1

Una forma de verificar que una matriz es PSD es la de probar que el los determinantes de todas las submatrices superiores izquierdas son no negativos .

Esto es cierto para la primera submatriz si se supone que $\int v(x) \ dx\ge0$ .

Para la segunda necesitas tener $$\left(\int v(x) \ dx\right)\left(\int x^2v(x) \ dx\right)\ge \left(\int xv(x) \ dx\right)^2$$ que es Desigualdad de Cauchy-Schwarz para el producto interior $\langle f,g \rangle = \int fg$ con $f(x) = \sqrt{v(x)}$ y $g(x)=x\sqrt{v(x)}$ siempre que esas funciones estén bien definidas. Lo que ocurre si $v$ se supone no negativo.