Objetos exponenciales en una categoría cerrada cartesiana:$a^1 \cong a$

Question

Hola, estoy teniendo problemas para encontrar una prueba para esta propiedad simple de las categorías cerradas cartesianas (CCC) y los objetos exponenciales, es decir, para cualquier objeto$a$ en un CCC$C$ con un objeto inicial$0$,$a$ es isomorfo para$a^1$ donde$1$ es el objeto terminal de$C$. En la mayoría de los libros de teoría de categorías que he leído, generalmente se deja como un ejercicio, pero por alguna razón no puedo controlarlo.

Answer 1

Para cualquier objeto$x$, tenemos:$$\operatorname{Hom}(x,a^1)\cong \operatorname{Hom}(x\times 1,a)\cong \operatorname{Hom}(x,a)$ $ Así que el lema de Yoneda nos da que$a$ es isomorfo a$a^1$.

Answer 2

También puedes razonar de la siguiente manera, sin el lema de Yoneda. Pero probar la singularidad de los adjuntos correctos es engorroso sin usar Yoneda, y fácil con. De todos modos, aquí va:

El functor$(-)\times 1$ es isomorfo al functor de identidad. El functor de identidad es un adjunto correcto de sí mismo, por lo que el functor de identidad también es adjunto correcto a$(-)\times 1$. Luego, la singularidad de los adjuntos correctos da que$(-)^1$ es isomorfo al functor de identidad.