Cómo encontrar el espacio tangente a un espacio matricial

Question

Me cuesta mucho abordar este tipo de problemas. En un artículo había afirmado que el espacio tangente a todas las matrices simétricas con la misma firma que $M$ en una matriz $M$ es el conjunto de todas las matrices de la forma $WM+MW^T$ . Así que empecé a buscar problemas similares y quizás más sencillos de este tipo, como encontrar el espacio tangente al conjunto de todas las matrices invertibles en $I$ o el espacio tangente al conjunto de todas las matrices con determinante igual a $1$ en $I$ .

Sin dar una solución ¿podría darme una pista sobre cómo empezar a resolver estos problemas? Lo que sé es que tengo que encontrar un camino en esas variedades que pase por esa determinada matriz y encontrar la derivada de ese camino. También he oído hablar de utilizar el mapa exponencial, pero no estoy seguro de haberlo entendido. Lo que no me queda claro es que cómo se piensa en un camino para tal colector, y lo que es más importante, cómo se puede demostrar que se trata de un colector.

Para aclarar la cuestión, esto es lo que quiero mostrar: Dejemos que $SL_n\mathbb(R)$ sea el conjunto de todos los reales $n\times n$ matrices con determinante igual a 1. Demuestre que este conjunto es un colector, y encuentre el espacio tangente a este colector en la identidad.

Answer 1

"Pista 1". Sabes que $\mathbb{R}^N$ es un colector, por lo que el conjunto de matrices es un colector (piensa en coordenadas). El determinante es una bonita función que pasa por $\mathbb{R}$ y $SL_n\mathbb(R)$ es la preimagen de un valor regular, por lo tanto, un colector.

Pista 2. El espacio tangente (en p) a una variedad definida por la desaparición de una ecuación es el espacio nulo de la derivada del mapa definidor en $p$ así que considere una curva que entra en $SL_n\mathbb(R)$ (es decir, una función de un intervalo pequeño en $\mathbb{R}^{n^2}$ , tal que su imagen es un $n^2$ -correspondiente a una matriz lineal especial), componer con el determinante y calcular la derivada de éste en la identidad.

Pista 3. Debe ser un mapa del espacio de las matrices a $\mathbb{R}$ . Trabaja esto para encontrar el rastro. Así se recupera lo que dice copper.hat arriba.

Answer 2

Creo que he entendido cómo resolver todo el asunto para $SL_n(\mathbb{R})$ Así que voy a añadir una solución completa ahora.

$SL_n(\mathbb{R})=\{A_{n\times n}:\det(A)=1\}$ . $\mathbb{R}^n$ es un colector. $M_n(\mathbb{R})$ (de entrada) es lo mismo que $\mathbb{R}^{n^2}$ por lo que se trata de una variedad. Existe una función suave (determinante) de $M_n(\mathbb{R})$ a $\mathbb{R}$ y $SL_n(\mathbb{R})$ es la preimagen de un valor regular (valor 1). Es decir, por el teorema de la función implícita $SL_n(\mathbb{R})$ es un colector.

Ahora, dejemos que $c(t)=e^{tA}, t\in \mathbb{R}$ sea un camino en este colector. Para tener $e^{tA}$ dentro del colector, su determinante debe ser 1, es decir $$1=\det(e^{tA})=e^{tr(tA)}.$$ Así que, $tr(tA)=0$ Es decir $tr(A)=0$ . Por otro lado, $c(0)=I$ . Ahora, tomando la derivada tenemos: $c'(t)|_{t=0}=Ae^{tA}|_{t=0}=A$ . Es decir, todas las matrices de traza cero son tangentes a esta variedad.

La dimensión de $SL_n(\mathbb{R})=n$ y la dimensión de $M_n(\mathbb{R})=n^2$ y la dimensión de todas las matrices de traza cero es $n^2-n$ . Entonces, estos son todos los vectores tangentes.