¿Cómo cambia$F(X_1,X_2)$ con$\epsilon$ en$X_1$ cuando$X_1$ y$X_2$ están enredados?

Question

Tengo la siguiente función $F$

$$F(X_1,X_2)=\frac{X_1}{X_1+X_2}$$

Donde $X_1$ $X_2$ son funciones de una variable $k$. Estoy tratando de investigar cómo $F$ cambios con un $\epsilon$ variación en $X_1$. Sin embargo, no puedo hacer

$$F(X_1+\epsilon,X_2)=\frac{X_1+\epsilon}{X_1+\epsilon+X_2}$$

Ya que si $X_1$ cambios (debido a un cambio en $k$) $X_2$ también va a cambiar.

Por lo tanto, tiene sentido (para mí) para hacer el siguiente. Definir, $A:=\frac{dX_1}{dk}$$B:=\frac{dX_2}{dk}$. Entonces tenemos

$$F(X_1+\epsilon,X_2)==\frac{X_1+\epsilon}{X_1+\epsilon+X_2+\epsilon(B/A)}$$

Por ejemplo, si $B=2A$, luego un cambio de $\epsilon$ $X_1$ vendrá con un $2\epsilon$ variación en $X_2$. ¿Esto tiene sentido?

Answer 1

Es posible que solo desee calcular$h'(k)$ para$h$ definido:$$ h(k) = F(X_1(k), X_2(k))$ $ donde$X_1$ y$X_2$ tienen funciones de$k$.

O, si tiene alguna función inversa (quizás local)$X_1^{-1}(x_1)$ que sea diferenciable, entonces puede encontrar$g'(x_1)$ para$g$ definido:$$ g(x_1) = F\left(x_1, X_2(X_1^{-1}(x_1))\right)$ $

Esto está relacionado con otros enfoques que pueden tratar de definir "$\frac{\partial X_2}{\partial X_1} = \frac{X_2'(k)}{X_1'(k)}$" y usarlo en una fórmula como$$ "\frac{\partial h}{\partial X_1} = \frac{\partial F}{\partial X_1} + \frac{\partial F}{\partial X_2}\frac{\partial X_2}{\partial X_1}" $ $

Answer 2

Usa el diferencial. Dado$F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ que es al menos$\mathcal{C}^1$ tenemos$dF(p) = \frac{\partial F}{\partial x}(p) \ dx + \frac{\partial F}{\partial y}(p)\ dy$ donde$|\Delta F(p) - dF(p)|< \epsilon$ y$p$ está lo suficientemente cerca de$\textbf{x}$. Por lo tanto, para estimar un cambio$\epsilon$ en$X_1$ tenemos$dx =( X_1 + \epsilon) - X_1 = \epsilon, dy = 0$ y así,

PS

Por lo tanto, por el comentario anterior$$ dF(p) = F_x(X_1,X_2) \cdot \epsilon + Fy(X_1,X_2) \cdot 0$. Aquí para no abusar de la notación, estoy escribiendo$F(X_1 + \epsilon, X_2) \approx F(X_1,X_2) + F_x(X_1,X_2) \cdot \epsilon$ y, por lo tanto, cuando nos limitamos al conjunto en el que se define$F = F(x,y)$ en su problema (por ejemplo,$F$), usamos la convención$E$.