Demuestre que hay un bijective$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{f(n)}\ln\frac{f(n)+1}{f(n)}=\ln 2010$

Question

¿Cómo puedo mostrar que:

Existe un biyectivo$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que:$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{f(n)}\ln\frac{f(n)+1}{f(n)}=\ln 2010$ $

Realmente no tengo idea de por dónde empezar ... la serie de Taylor no parece estar relacionada. Pensé en la prueba de series alternas que se aproxima a la suma pero no estoy segura de cómo usarla.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Supongamos que tome $f(n)=2n$ $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{2n}\ln\frac{2n+1}{2n}= \sum_{n=1}^{\infty} \ln(2n+1)-\ln(2n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{2n+\delta_n} \geq \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{2n+1} = \infty$$ donde $0<\delta_n<1$ - esto es del teorema de Lagrange $\frac{f(x) - f(y)}{(x)-y)} = f' (c)$ algunos $c\in (x, y)$, y aquí $x=2n+1,\; y=2n,\; f(t)=\ln(t)$$f'(t)=\frac{1}{t}$.

El mismo funciona para $f(n)=2n+1$, pero con $-\infty$. Ahora, la construcción de otra función $f$ como sigue : elegir suficiente, incluso los números hasta que la primera vez que su suma parcial está por encima de $\ln 2100$, a continuación, elija suficiente de números impares, hasta que la primera vez que su suma parcial es inferior a $\ln 2100$. usted puede hacer esto ya que las dos secuencias he descrito anteriormente convergen a $\pm \infty$. usted puede continuar de esta manera a construir un bijective mapa de $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$.

Puesto que el $n-th$ término en la suma converge a cero, lo que demuestra que la secuencia converge a $\ln 2100$.