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Los valores de funciones hipergeométricas

Deje $_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;c)$ denotar la función hipergeométrica generalizada. Deje $A \subset \mathbb R$ ser el conjunto de todos los valores de $\ _pF_q(\cdot)$ en puntos racionales $a_i,b_j,c\in \mathbb Q$. Desde $A$ y su clausura algebraica $\overline A$ son contables, obviamente, hay muchas de las constantes $\alpha \notin \overline A$.

Pregunta: ¿hay alguna naturales constantes $\alpha$, como en esta lista, de tal manera que $\alpha \notin \overline A$?

Me doy cuenta de que esta pregunta es algo informal, y de hecho puedo construir una explícita constante con el rápido aumento de las secuencias de ceros separados por 1. Tengo curiosidad de saber si hay un "buen" ejemplo constante para que este se puede probar (o conjecturally) conocida. A continuación se muestra una breve lista con muchos de los "niza" valores en $A$.


$_1F_0(1/2;1/2) = \sqrt{2}$

$_0F_1(1/2;1/4) = cos(1)$

$_2F_1(1/2,1;3/2;-1) = \pi/4$

$_2F_1(1,1;2;-1) = \log 2$

$_3F_2(1/2,1/2,1/2;1,1;1) = \pi/\Gamma(3/4)^4$

$_3F_2(1/2,1/2,1/2;1,3/2;1) = 4C/\pi$ donde $C$ es el catalán constante.

$_4F_3(1/2,1/2,1/2,1/2;3/2,3/2,3/2;1) = 7\zeta(3)/8$

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ghostwhistler Puntos 32

Una aparente resultados no es difícil de obtener, considerando la hipergeométrica confluente funciones

$$_0F_1(;1/2\,;-z^2/4) = \cos(z)$$

$$z\;{}_0F_1(;3/2\,;z^2/4) = \sin(z)$$

De Kronecker-Weber teorema dice que cualquier algebraica de números con grupo de Galois del polinomio mínimo de más de $\mathbb{Q}$ cíclico es en $\bar{A}$. De hecho, podemos indicar una fuerte demanda

Cada algebraica de números con grado de $\leq 5$ $\bar A$

Observando que cada polinomio con grado de $\leq 5$ puede ser reducido a Traer-Jerrard formulario de $x^N - x + t = 0$ que puede ser resuelto por la inversión de $\zeta - t\phi(\zeta) = e^{2\pi i}$ $\phi(\zeta) = \zeta^{N/(N-1)}$ y la aplicación de Lagrange-Burmann inversión. Este es el appraoch para resolver trinomio formas introducidas por Glasser$(1994)$. Después de una considerable cantidad de trabajo que implica la serie de manipulación a través de $\Gamma$-función de identidades, se puede descomponer la serie en suma finita de hipergeométrica generalizada de las funciones, lo que demuestra la afirmación anterior.

Usted no puede hacer lo mismo que el anterior para sextics. Esto es explícitamente explicado en Hamilton$(1837)$. La transformación de un general $n$-grado de una $n$-grado de la forma normal con los coeficientes de la $n-1, n-2, n-3$ $(n-4)$- ésimo grado términos de ser $0$ tiene un "límite inferior" a la aplicabilidad, es decir,$n = 10$, por lo que sextics, o incluso nada con grado por debajo de un decicarle no puede ser transformada a la forma, o al menos a través de los métodos presentados en Jerrard$(1836)$

En general, tu pregunta está estrechamente relacionada con la de Hilbert $13$-th problema, si no estoy equivocado. Se formula como

Puede que la solución a un sextic ser expresado como un número finito de funciones de una sola variable?

De hecho, un sextic puede ser reducido a $x^6 + x^2 + t_1x + t_2$ a través de la aplicación rápida de Tschrinhausen transformaciones a través de la potencia de la suma de las fórmulas, esencialmente dual a la de la Traen de la derivación. Reducción aún mayor para un determinado parámetro de forma es no evidentes.

Esta es la primera negativamente respondió en Abhyankar$(1980)$, y, en general, funciona con la alimentación de la serie mucho de polinomios. En definitiva, se muestra que la raíz de un sextic polinomio no puede ser expresado en términos de un número finito de operaciones elementales y de una sola variable holomorphic funciones, por lo que esta debería ser suficiente para mostrar que, incluso,$\mathbb{\bar Q} \not \subseteq \bar A$.

Ahora, llego a la parte donde considero trascendental constante y la investigación sobre la existencia de una que no lo es en $\bar A$.

$$\zeta_H(s, a) = a^{-s} {}_{s+1}F_{s}(1, \underbrace{a, a, \cdots, a}_{\text{s copies}}; \underbrace{a+1, a+1, \cdots a+1}_{\text{s times}}; 1)$$

donde $\zeta_H$ es Hurwitz zeta. Esta identidad es suficiente para demostrar que la mayoría de las funciones trascendentes son en $\bar A[z]$. Esto puede ser fácilmente generalizado para Lerch zeta :

$$\Phi(z, s, a) = a^{-s} {}_{s+1}F_{s}(1, \underbrace{a, a, \cdots, a}_{\text{s copies}}; \underbrace{a+1, a+1, \cdots a+1}_{\text{s times}}; z)$$

con los valores propios de a $z$ $a$ sobre el plano complejo tomar para convergen la hipergeométrica de la serie a la derecha. Eventualmente, puede ser analíticamente siguió todo el plano complejo.

Esto demuestra que cualquier polylogarithmic, zeta, o Clausen-Barnes relacionadas con la constante se puede expresar en términos de funciones hipergeométricas, es decir, están en $\bar A$.

Conjetura : Glaisher-Kinkelin constante no es en $\bar A$

El vasco-ups detrás de este hecho es que la diferencian zeta $\zeta'$ es probable que no se expresa en términos de un número finito de función hipergeométrica de la composición, que se basa en la observación de que $\Gamma(s)$ no $\mathcal{\bar L}$, el algebraicas cierre del campo generado por los logaritmos de algebraics. Un posible enfoque sería comenzar desde equilibrada polygamma función definida en Espinosa & Moll$(2003)$ cual es, respectivamente, más fácil de trabajar que el comportamiento es similar a la de la polygamma (al menos en un número entero positivo de argumentos).

Además, uno puede mostrar que la mayoría de los elíptica función de mentira en esa extensión. Esto proviene del hecho de que lo fundamental de las integrales elípticas son todos expresable en términos de $_2F_1$ funciones hipergeométricas :

$$K(k) = \frac{\pi}{2} {}_2F_1 (1/2, 1/2; 1; k^2)$$

La función inversa de la $j$ invariante puede ser expresada en términos de la función hipergeométrica. Dado $j(\tau) = N$ a continuación,

$$\tau = i\frac{{}_2F_1(1/6, 5/6; 1; 1-\alpha)}{{}_2F_1(1/6, 5/6; 1; \alpha)}$$

donde $\alpha$ es raíz de la ecuación cuadrática $4\alpha(1-\alpha)=1728/N$.

Notas:

  • No he sido capaz de probar que $\gamma \in \bar A$ donde $\gamma$ es la constante de Euler. En general, parece que la función digamma $\psi_0$ no $\bar A[z]$.

  • La mayor parte de las funciones analíticas que están en esa extensión en un sentido, ya que todos ellos son expresables en términos de hypergometric $_1F_1$

  • Mencionado en alguna parte antes de la respuesta, tenemos $\mathbb{\bar Q} \not \subseteq \bar A$. Esto puede ser evitado si se utiliza una adecuada generalización multivariante de funciones hipergeométricas (ver más abajo). No me sé de uno, pero uno de esos casos especiales es Kampe-de-Feriet funciones, que se utiliza generalmente para resolver sextics. Edit: he encontrado algo llamado Lauricella funciones, pero yo puedo creer que es posible mostrar que no puede ser utilizado para expresar las soluciones de un general algebraicas polinomio debido a la limitación del número de Pochhammer factoriales en el sumando.

  • Umemura del método de proporcionar una solución completa para la resolución de un general $n$-grado de la ecuación a través de variables de orden superior thetas de hyperelliotic integrales por lo que puede verse cómo multivariante funciones hipergeométricas simplifica los asuntos

  • Es probable que el algebraicas cierre del campo generado por contigua a todos los de $\mathbb{\bar Q}$ con funciones hipergeométricas así como elíptica funciones hipergeométricas y $q$-hypegeometric funciones algebraicas argumento genera mucho más fuerte algebro-trascendental objeto de este, y suponemos que de hecho es el conjunto de todos los períodos. Pregunta : ¿hay un período que no está en $\bar A$?

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