Cuota de topología vs topología subespacial.

Question

Deje $X$ $Y$ ser topológica del espacio y deje $\pi:X\to Y$ ser un cociente de mapa (es surjective mapa y $Y$ tiene el cociente de la topología inducida por $\pi$). Un subconjunto $U\subset X$ dijo estar saturado si $U=\pi^{-1}(\pi(U))$. Uno fácilmente puede comprueba que la restricción de $\pi$ a cualquier saturada abierto es un cociente de mapa. Deje $U$ ser saturado conjunto abierto. Podemos considerar dos topologías en $\pi(U)$: la topología de subespacio y el cociente de la topología $(\pi_{|_U}: U\to \pi(U))$.

¿Cuál es la relación entre estas dos topologías?

Me las arreglé para demostrar que la topología cociente es más fina que la topología de subespacio, pero sólo eso. Yo no prueba que las topologías son las mismas y no puedo encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Dado que$U$ es un conjunto abierto saturado, la topología del cociente en$\pi(U)$ inducida por$\pi\lvert_U$ es la misma que la topología subespacial inducida por$Y$.

Para ver eso, debemos ver que la inclusión$j \colon \pi(U) \hookrightarrow Y$ está abierta. Así que dejemos que$W\subset \pi(U)$ sea un conjunto abierto. Por definición, eso significa que$V := (\pi\lvert_U)^{-1}(W) \subset U$ está abierto. Pero$U$ está abierto, por lo que$V$ está abierto en$X$. Y$U$ está saturado, por lo tanto,$V$ está saturado, y entonces$\pi^{-1}(j(W)) = V$ es un conjunto abierto, por lo tanto,$j(W)$ está abierto en$Y$.

Answer 2

Deje $V_s\subset \pi(U)$ un subconjunto abierto de $\pi(U)$ con la topología de subespacio. Pero $\pi(U)$ está abierto en $Y$, lo $V_s$ está abierto en $Y$. Por definición, esto significa que $\pi^{-1}(V_s)$ está abierto en $X$. Finalmente, $$(\pi_{|_U})^{-1}(V_s)=\{x\in U;\pi(x)\in V_s\}=U\cap\pi^{-1}(V_s)$$ hence $V_s$ is open in $\pi(U)$ con la topología cociente.

Ahora, vamos a $V_q\subset \pi(U)$ un subconjunto abierto de $\pi(U)$ con el cociente de la topología. Así $$V_q\subset \pi(U) \Rightarrow\pi^{-1}(V_q)\subset\pi^{-1}(\pi(U))=U$$ y por lo tanto $$(\pi_{|_U})^{-1}(V_q)=U\cap\pi^{-1}(V_q)=\pi^{-1}(V_q)$$ Por la definición, lo que significa que $\pi^{-1}(V_q)(=(\pi_{|_U})^{-1}(V_q))$ está abierto en $U$ e lo $\pi^{-1}(V_q)$ está abierto en $X$. De nuevo, por definición, $V_q$ está abierto en $Y$ y, a fortiori, $V_q$ está abierto en $\pi(U)$ con la topología de subespacio.