¿los puntos críticos no degenerados están siempre aislados?

Question

Tengo una pregunta sobre el aislamiento de los puntos críticos de una función:

Supongamos que $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es un $C^\infty$ de tal manera que $f$ tiene un punto crítico no degenerado en $0 \in \mathbb{R}^n$ . Es decir, tenemos $\triangledown f (0) = 0$ y el hessiano $\left((\partial^2 f/ \partial x_i \partial x_j ) (0) \right)$ es invertible.

¿Puedo deducir de esto que el punto crítico en $0$ ¿es un punto crítico aislado? Mi opinión es que sí, porque el hecho de que el hessiano sea no degenerado obliga a $f$ para cambiar su valor en las proximidades, y en todas las direcciones. Pero no estoy seguro, en particular con respecto a las últimas afirmaciones ("en todas las direcciones") - aunque eso debería estar codificado por el hecho de que todos los valores propios del hessiano son distintos de cero.

¿Es esta la forma correcta de pensar en la cuestión de si el punto crítico está aislado? Gracias por tus ideas.

Answer 1

Sí, esta es una forma correcta de pensar en la cuestión. Se puede ver de varias maneras.

1: El lema de Morse: El lema de Morse declara que sobre cualquier punto crítico no degenerado $p$ de una función suave $f$ hay una vecindad de coordenadas $x_i$ para que en esas coordenadas $f(x_i) = x_1^2 + \cdots + x_i^2 - x_{i+1}^2 - \cdots - x_n^2 + f(p)$ . Es un ejercicio fácil calcular el gradiente en estas coordenadas, y se puede ver inmediatamente que el único cero del gradiente en la vecindad está en $p$ . (En este caso, $p = 0$ y la pretensión es que se pueda precomponer $f$ con un difeomorfismo $\varphi$ de $\mathbb{R}^n$ para que $f\circ\varphi = \sum x_i^2 - \sum x_j^2$ .)

2: Directamente: Tomar una curva (lo más fácil, una línea recta) $\gamma$ a través de $0$ y para simplificar, parametrizar la curva de manera que $\gamma(0)=0$ . Considere $f|_\gamma$ . Entonces $f'(t) = (\nabla f\cdot \gamma')(t)$ y $f''(t) = (\gamma'^THess_f\gamma')(t)$ . Dejando de lado algunos detalles que debes verificar como ejercicio, el hessiano es invertible, por lo que en una vecindad de $0$ , $f$ tiene un extremo local, por lo que el cero de $f'$ está aislado. Esto es cierto para cualquier curva, por lo tanto, cualquier dirección, por lo que $0$ es un punto crítico aislado. Esto formaliza su intuición sobre "toda dirección".

Answer 2

En la respuesta de Neal, hay un fallo en la prueba. Que el hessiano(x0) no sea degenerado no implica que f sea P.D o N.D, por lo que x(0) no es necesariamente un extremo local. Esta es mi versión: para x en N(0), el hessiano(x) es no-degenerado ya que los valores propios de la matriz dependen continuamente de la entrada, por lo tanto x. en N(0) cualquier x,y tenemos grad(x)-grad(y)=H(x-y) +o(|x-y|^2) H es no-degenerativo, entonces el mapa de x a grad(x) es un mapa lineal uno a uno en N(0).por lo tanto grad(x) implica x=0