Una topología sobre los números naturales

Question

¿Existe un nombre o una referencia a la siguiente topología en $X= \mathbb N$ :

$A \subseteq X$ se cierra si y sólo si $n \in A \wedge m|n \implies m \in A$ ?

Answer 1

Dado un poset $(P,\leq)$ un conjunto superior es un subconjunto $U\subseteq P$ de manera que si $a\in U$ y $a\leq b$ entonces $b\in U$ . Un conjunto descendente es un subconjunto $D\subseteq P$ de manera que si $a\in D$ y $b\leq a$ entonces $b\in D$ .

El Topología de Alexandrov en $P$ es la topología cuyos conjuntos abiertos son exactamente los conjuntos ascendentes (equivalentemente, sus conjuntos cerrados son exactamente los conjuntos descendentes). La topología de Alexandrov tiene la inusual propiedad de que una intersección arbitraria de conjuntos abiertos es abierta (equivalentemente, una unión arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada). De hecho, un $T_0$ La topología con esta propiedad es siempre la topología de Alexandrov en un poset (toma el orden de especialización en sus puntos).

Su ejemplo es la topología de Alexandrov en el orden de divisibilidad $(\mathbb{N},|)$ . Una rápida búsqueda en Google de "Alexandrov topology divisibility" me llevó a este documento donde esta topología en $\mathbb{N}$ se considera, y este documento donde se considera la generalización a dominios integrales arbitrarios. Seguro que hay muchos otros.