Calcular los diferentes espectros de un operador

Question

Deje que $X:=C^0([0,2], \mathbb C)$ , $ \phi\in X$ y $T \in L(X)$ definido como:

$$(Tf)(t):= \phi (t)f(t),t \in [0,2]$$

Computa: $ \sigma_p (T), \sigma_c (T), \sigma_r (T), \sigma (T)$ y $ \rho (T)$

Soy bastante nuevo en este tema y no tengo ni idea de cómo calcularlos. Pero sólo necesito calcular los tres primeros valores, ya que $ \sigma (T)= \sigma_p (T) \cup \sigma_c (T) \cup \sigma_r (T)$ (unión desarticulada) y $ \rho (T)= \mathbb C$ \ $ \sigma (T)$

Quiero empezar con el primero:

Por definición $ \sigma_p (T)=\{ \lambda\in \mathbb C: T- \lambda $ no es inyectable }, así que necesito encontrar todo $ \lambda $ de tal manera que..:

$(T- \lambda )f(t)= \phi (t)f(t)- \lambda f(t)$ tiene una solución no trivial (en términos de $f(t)$ )

¿No es eso posible sólo si $ \phi (t)$ es constante en $[0,2]$ ?

Estoy agradecido por cualquier tipos de consejos para los primeros y por supuesto para los otros cálculos, también para referencias útiles, consejos y trucos para el cálculo del espectro.

Answer 1

Sabemos que $ \lambda\in\sigma_p (T)$ si y sólo si existe $f \neq0 $ de tal manera que $Tf= \lambda f$ . Obsérvese que dado tal $f$ el conjunto $\{t \in [0,2]\,:\,f(t) \ne2\ }$ está abierto y no está vacío, así que en este set debemos tener $ \phi = \lambda $ . Por el contrario, si hay un conjunto abierto $U \subseteq [0,2]$ en el cual $ \phi = \lambda $ entonces podemos encontrar una función continua $f:[0,2] \rightarrow\mathbb {C}$ de tal manera que $f=0$ en $[0,2] \setminus U$ . Por lo tanto, hemos encontrado $$ \sigma_p (T)=\{ \lambda\in\mathbb {C}\,:\,[ \phi = \lambda ]\ \text {has non-empty interior}\}$$ A continuación miramos el espectro residual. Supongamos que $ \lambda\in\mathbb {C} \setminus\sigma_p (T)$ es tal que $ \lambda - \phi $ tiene un cero en $[0,2]$ . Yo reclamo $ \lambda\in\sigma_r (T)$ . De hecho, si $ \lambda - \phi (t_0)=0$ noten que para todos $f \in X$ tenemos $( \lambda I-T)f(t_0)=0$ así que dejar $g(t)=1$ para todos $t \in [0,2]$ tenemos $\|g-( \lambda I-T)f\|_ \infty\ge1 $ para todos $f \in X$ . Desde $g \in X$ esto muestra $ \lambda I-T$ no tiene un rango denso, así que $ \lambda\in\sigma_r (T)$ . Por el contrario, si $ \lambda - \phi $ nunca es cero entonces para todos $f \in X$ , $g:= \frac {f}{ \lambda - \phi }$ es continua, así que $f=( \lambda I-T)g$ y por lo tanto $ \lambda I-T$ tiene un rango denso. Esto muestra $$ \sigma_r (T)=\{ \lambda\in\mathbb {C}\,:\,[ \phi = \lambda ]\ \text {is non-empty with empty interior}\}$$ Finalmente miramos a $ \sigma_c (T)$ . Sin embargo, tenga en cuenta que si $ \lambda\in\mathbb {C} \setminus ( \sigma_p (T) \cup\sigma_r (T))$ entonces $ \lambda - \phi $ nunca es cero en $[0,2]$ como se ha señalado anteriormente, si $f \in X$ entonces $( \lambda I-T)g=f$ donde $g= \frac1 { \lambda - \phi }f$ . Además, $ \frac1 { \lambda - \phi }( \lambda I-T)f=f$ para cualquier $f \in X$ . Por lo tanto $ \lambda I-T$ es invertible con inverso $( \lambda I-T)^{-1}f= \frac1 { \lambda - \phi }f$ . Lo sabemos. $( \lambda I-T)^{-1}$ está limitada por el teorema de la inversión limitada, pero también se puede mostrar directamente. Desde $ \lambda - \phi $ nunca es cero, existe $ \delta >0$ de tal manera que $| \lambda - \phi | \ge\delta $ por la compactación de $[0,2]$ . Esto implica $\|( \lambda I-T)^{-1}f\|_ \infty\le\frac1\delta\ |f\|_ \infty $ para todos $f \in X$ . Por lo tanto, hemos demostrado $$ \sigma_c (T)= \emptyset $$ Puedes terminar tu problema anotando $ \sigma (T)=\{ \lambda\in\mathbb {C}\,:\, \lambda = \phi (t) \text { for some }t \in [0,2]\}$ y $ \rho (T)=\{ \lambda\in\mathbb {C}\,:\, \lambda\neq\phi (t) \text { for all }t \in [0,2]\}$ .