Tough NL Diff Eq.

Question

Estoy tratando de explorar

$$ \left( y'' + (1/x) \, y' \right)(1-y) \, – \, (1/x)\left(y'\right)^4 = 0 $$

con las condiciones iniciales $y(0) = 0$$y'(0) = 1$.

Por sustitución puedo demostrar que un asintótica existe una solución de la forma $y = x - (1/4)x^2 - (1/12)x^3$ y parece un buen radio de convergencia,

pero cuando intento ejecutar la expansión de Taylor más puedo ejecutar en problemas en los que los coeficientes de convertirse en overconstrained causando intenta llegar a lo más alto orden en la serie a fallar.

Alguna idea de cómo abordar el aprendizaje de lo que la solución de la función se ve como en otros lugares a lo largo de $x$?

WGH

Answer 1

Insinuación:

Dejar $u=1-y$ ,

Entonces $u'=-y'$

$u''=-y''$

$\therefore\left(-u''-\dfrac{u'}{x}\right)u-\dfrac{(-u')^4}{x}=0$

$u\left(x\dfrac{d^2u}{dx^2}+\dfrac{du}{dx}\right)+\left(\dfrac{du}{dx}\right)^4=0$

Dejar $x=e^t$ ,

Entonces $t=\ln x$

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{du}{dt}\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x}\dfrac{du}{dt}=e^{-t}\dfrac{du}{dt}$

$\dfrac{d^2u}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(e^{-t}\dfrac{du}{dt}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(e^{-t}\dfrac{du}{dt}\right)\dfrac{dt}{dx}=\left(e^{-t}\dfrac{d^2u}{dt^2}-e^{-t}\dfrac{du}{dt}\right)e^{-t}=e^{-2t}\dfrac{d^2u}{dt^2}-e^{-2t}\dfrac{du}{dt}$

$\therefore u\left(e^{-t}\dfrac{d^2u}{dt^2}-e^{-t}\dfrac{du}{dt}+e^{-t}\dfrac{du}{dt}\right)+\left(e^{-t}\dfrac{du}{dt}\right)^4=0$

$e^{-t}u\dfrac{d^2u}{dt^2}+e^{-4t}\left(\dfrac{du}{dt}\right)^4=0$

$u\dfrac{d^2u}{dt^2}+e^{-3t}\left(\dfrac{du}{dt}\right)^4=0$

Dejar $u=e^{nt}v$ ,

Entonces $\dfrac{du}{dt}=e^{nt}\dfrac{dv}{dt}+ne^{nt}v$

$\dfrac{d^2u}{dt^2}=e^{nt}\dfrac{d^2v}{dt^2}+ne^{nt}\dfrac{dv}{dt}+ne^{nt}\dfrac{dv}{dt}+n^2e^{nt}v=e^{nt}\dfrac{d^2v}{dt^2}+2ne^{nt}\dfrac{dv}{dt}+n^2e^{nt}v$

$\therefore e^{nt}v\left(e^{nt}\dfrac{d^2v}{dt^2}+2ne^{nt}\dfrac{dv}{dt}+n^2e^{nt}v\right)+e^{-3t}\left(e^{nt}\dfrac{dv}{dt}+ne^{nt}v\right)^4=0$

$e^{2nt}v\left(\dfrac{d^2v}{dt^2}+2n\dfrac{dv}{dt}+n^2v\right)+e^{(4n-3)t}\left(\dfrac{dv}{dt}+nv\right)^4=0$

Elija$2n=4n-3$, es decir,$n=\dfrac{3}{2}$, la EDO se convierte en

$e^{3t}v\left(\dfrac{d^2v}{dt^2}+3\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{9v}{4}\right)+e^{3t}\left(\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{3v}{2}\right)^4=0$

$4v\left(4\dfrac{d^2v}{dt^2}+12\dfrac{dv}{dt}+9v\right)+\left(2\dfrac{dv}{dt}+3v\right)^4=0$

Dejar $w=\dfrac{dv}{dt}$ ,

Entonces $\dfrac{d^2v}{dt^2}=\dfrac{dw}{dt}=\dfrac{dw}{dv}\dfrac{dv}{dt}=w\dfrac{dw}{dv}$

$\therefore4v\left(4w\dfrac{dw}{dv}+12w+9v\right)+\left(2w+3v\right)^4=0$