Alineación angular de puntos en dos círculos concéntricos.

Question

Tengo dos círculos concéntricos $C_1$ $C_2$ con radios $r_1,r_2$ tal que $r_1< r_2$y un conjunto finito de puntos de $P=\left \{ p_1,p_2...p_n \right \}$ $Q=\left \{ q_1,q_2...q_n \right \}$ son identificados en los círculos $C_1,C_2$ respectivamente.

Ahora me gustaría girar el círculo de $C_1$ tales que la suma de los cuadrados de la distancia Euclídea-distancias $\sum_i^nd(p_i,q_i)^2$ es minimizado, donde $d(.)$ indica la distancia Euclídea distancia.

Tenga en cuenta que tanto $p_i$ $q_i$ 2-d de coordenadas en el espacio real. ¿Cuál es el ángulo óptimo de rotación, ya sea en un sentido o en el sentido contrario a las agujas que minimiza estas sumas de las distancias Euclídeas?

Me estaba mirando como $P$ ser golpeado por una matriz de rotación y fue encontrar el gradiente de w.r.t $\theta$ en la matriz de rotación.

Answer 1

Deje$p_i=(r_1\cos\phi_i,r_1\sin\phi_i)$ y$q_i=(r_2\cos\theta_i,r_2\sin\theta_i)$. Luego, rotando por$\psi$ lleva a

$$ \begin{align} \sum_{i=1}^nd(p_i,q_i')^2 &= \sum_{i=1}^n\left((r_1\cos(\phi_i+\psi)-r_2\cos\theta_i)^2+(r_1\sin(\phi_i+\psi)-r_2\sin\theta_i)^2\right) \\ &= n(r_1^2+r_2^2)-2r_1r_2\sum_{i=1}^n\cos(\phi_i-\theta_i+\psi) \\ &= n(r_1^2+r_2^2)-2r_1r_2\Re\sum_{i=1}^n\mathrm e^{\phi_i-\theta_i+\psi} \\ &= n(r_1^2+r_2^2)-2r_1r_2\Re\left(\mathrm e^\psi\sum_{i=1}^n\mathrm e^{\phi_i-\theta_i}\right) \;. \end {align} $$

Esto es mínimo para

PS

y el valor mínimo es

$$ n (r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2) -2r_1r_2 \ left | \ sum_ {i = 1} ^ n \ mathrm e ^ {\ theta_i- \ phi_i} \ right | \ ;. $$