Digamos que $G$ es algún subgrupo aditivo de $\mathbb{R}$ que tiene al menos dos elementos.
Por lo que tengo entendido, $G$ es entonces denso en $\mathbb{R}$ o tiene algún elemento menos positivo. ¿Cuál es la razón de esto?
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Paul
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Dejemos que $G$ sea un subgrupo aditivo de $\mathbb{R}$ . Supongamos que no existe el elemento menos positivo, es decir $\inf\{|x|:x\in G-\{0\}\}=0$ . Entonces podemos demostrar que $G$ es denso en $\mathbb{R}$ como sigue: supongamos que $y\in\mathbb{R}$ para cualquier $\epsilon>0$ existe $x\in G$ tal que $|x|<\epsilon$ . Podemos suponer que $x>0$ Si no es así, podemos tomar $-x$ que pertenece a $G$ desde $G$ es un grupo aditivo. Entonces existe un número entero $n$ tal que $$nx\leq y<(n+1)x,$$ lo que implica que $$|y-nx|<x<\epsilon,$$ donde $nx\in G$ desde $G$ es un grupo aditivo. Esto demuestra que $G$ es denso en $\mathbb{R}$ .
Dejemos que $a=\inf\{g\in G; g>0\}$ . (Obsérvese que este conjunto no es vacío y por tanto $a\ge 0$ , $a<\infty$ .)
Supongamos que $a\notin G$ .
Esto implica que para cada $\varepsilon>0$ hay $g\in G$ tal que $a<g<a+\varepsilon$ . El mismo argumento da la existencia de $g'$ tal que $a<g'<g<a+\varepsilon$ . Así, encontramos $h_\varepsilon=g'-g$ que pertenece a $G$ y cumple con $0<h_\varepsilon<\varepsilon$ .
Ahora es relativamente fácil ver que $\bigcup\limits_{\varepsilon>0}\{z\cdot h_\varepsilon; z\in\mathbb Z\}$ es denso en $\mathbb R$ y es subconjunto de $G$ .
(Si elige algún intervalo $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ que tiene una longitud $2\varepsilon$ entonces debe contener algún elemento de la forma $z\cdot h_\varepsilon$ ya que la distancia entre dos elementos vecinos de esta forma es menor que $\varepsilon$ .)
Una afirmación análoga (o al menos una de ellas - hay otras posibles generalizaciones) en dimensiones superiores sería:
Un subgrupo aditivo de $\mathbb R^n$ es discreto si y sólo si está generado por vectores linealmente independientes $a_1,\dots,a_m\in\mathbb R^n$ , $m\le n$ .
En el caso $n=1$ sólo obtenemos un generador.
La prueba de esta afirmación puede encontrarse, por ejemplo, en Stewart, Tall: Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem 6.1 (en la sección 6.1 Lattices) y probablemente en muchos otros textos que tratan de celosías en $\mathbb R^n$ .
Reto Meier
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Una vez utilicé este hecho para resolver un problema en el American Mathematical Monthly. Aquí está la prueba que di, que es bastante similar a la de Paul.
Primero demostramos que si $G$ tiene un punto límite, entonces es denso. Fijar $\epsilon > 0$ y que $y$ sea un punto límite de $G$ . Elija $x_1, x_2 \in G$ con $0 < |{x_1-y}| < \epsilon/2$ y $|{x_2 - y}| < |{x_1 - y}|$ . Entonces $x := x_1 - x_2 \in G$ con $0 < |{x}| < \epsilon$ . $G$ contiene ahora todos los múltiplos enteros de $x$ por lo que todo intervalo de de al menos $\epsilon$ contiene un elemento de $G$ . $\epsilon$ era arbitrario así que $G$ es denso.
Como contrapositivo de esto, si $G$ no es denso, entonces no tiene puntos límite. En este caso, dejemos que $a := \inf \{ x \in G, x > 0\}$ . (Este conjunto no es vacío ya que $G$ no es trivial y, por tanto, contiene al menos un al menos un número positivo). Dado que ninguno de los dos $0$ ni $a$ son puntos límite puntos de $G$ , $a > 0$ y $a \in G$ . Por construcción, $a$ es el elemento menos positivo de $G$ . (Además, $G$ es generado por $a$ .)
BryCoBat
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Suponemos que $G$ no tiene ningún elemento menos positivo. Toma $x_n \rightarrow 0^+$ . Tome una subsecuencia decreciente $(y_n)$ de $(x_n)$ .
Después de cada $y_i$ insertamos términos adicionales iguales a $y_i - x_j < y_{i+1}$ preservando la monotonicidad [posible, ya que podemos hacer $x_j$ tan pequeño como queramos], hasta que la suma de todos estos términos supere $\frac{1}{i}$ . Obtenemos $(z_i)$ .
$S=\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^i z_i$ es una serie alterna convergente que es absolutamente divergente por comparación con la serie armónica, por lo tanto por la Teorema de la serie de Riemann podemos reordenar los términos para que sumen cualquier número real. Ahora, tomando las sumas parciales de dicho reordenamiento, obtenemos una secuencia que tiende a cualquier número real. Por tanto, $G$ es dencia en $\mathbb{R}$ .
