Número finito de particiones de la unidad en un espacio compacto de Hausdorff

Question

Estoy trabajando en esta prueba en Gamelin "Introducción a la Topología" y creo que estoy casi en el resultado, solo estoy un poco atascado con el modo de proceder.

Esto es. Deje $X$ ser un ser compacto Hausdorff espacio y dejar que {$U_\alpha$}$_{\alpha \in A}$ ser una cubierta abierta de a $X$. Demostrar que existe un número finito de continuo de las funciones con valores de $h_1, . . ., h_2$ $X$ con las siguientes propiedades:

(un) $0\leq h_j \leq1$, $1\leq j \leq m$,

(b) $\Sigma h_{j} = 1$

(c) Para cada una de las $1\leq j \leq m$, hay un índice de $\alpha_{j}$ s.t. el cierre del conjunto {$x : h_{j}(x) > 0$} está contenido en $U_{\alpha_{j}}$

Por lo que sé, por un teorema en el libro que compacto Hausdorff espacios son normales. Me tomó un punto de $x\in X$, y señaló que el {$x$} es cerrado ya que el espacio es Hausdorff. Por definición de la tapa abierta, $\exists$ $U_{\alpha}$ en la apertura de la tapa s.t. $x\in U_{\alpha}$. El complemento, $X-U_{\alpha}$ es cerrado.

Más por la normalidad, $\exists$ abrir conjuntos de $V,W$ s.t $V \cap W=\emptyset$ e s.t. {$x$}$\subseteq V$ y {$X-U_{\alpha}$}$\subseteq W$. $W$ está abierto por lo tanto $X-W$ es cerrado. Más $U_{\alpha}\subseteq X-W$ y $V\subseteq U_{\alpha} \subseteq X-W$. $\overline{V}$ es el smalest conjunto cerrado que contiene V por lo tanto $\overline{V}\subseteq \overline{U_{\alpha}} \subseteq {X-W}$.

Ahora quiero aplicar Urysohn del Lema que decir aquí que $\exists$ una función continua $g$ s.t. $g$({x})=1 y $g$({$X-W$})=0. Así que creo que he demostrado que las propiedades (a) y (c), pero no estoy seguro de dónde ir para mostrar que no es sólo un número finito de estas funciones. No podía acabo de hacer este mismo proceso en todos los puntos de $x \in X$ y encontrar quizás infinitamente muchas de estas funciones?

Gracias por cualquier ayuda que puede ofrecer.

Edit: Lo he pensado y pensado en lo que sugirió y creo que puedo continuar desde donde lo dejó, con algunas de sus opiniones y algunos de la "Observación" del libro de texto.

Creo que mi construcción sugeriría que supp($g_{x}$)=$V_{x}$={$y\in X : g_{y}(x) > 0$}. Para cada una de las $x\in X$ I puede encontrar otro ejemplo de función $g_{i}$ y otro conjunto de $V_{x_{i}}$. Desde $X$ es compacto, puedo optar $x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}$ s.t. la colección resultante {$V_{x_{i}}$} es finito, sub-cubierta de $X$. Por lo tanto, tengo número finito de funciones con estas propiedades?

Gracias de nuevo.

Answer 1

Lo mejor es empezar a simplificar la hipótesis de tanto como usted puede. Por ejemplo, comenzar por tomar un número finito de subcover de la $U_\alpha$. Además, piense en el caso de que $U_\alpha=X$. Aunque el resultado es trivial en este caso, el procedimiento dado por un general de la prueba debe trabajar en este caso en particular. Cuando tomamos las funciones de $h_i$, pero simplemente ha $h_i(x_i)=1$ (es decir, $h_i$ $1$ en un solo punto), es difícil lidiar con sus sumas, y modificar los mismos, para asegurar que el $\sum h_i=1$.

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Esto es lo que yo haría (que creo que es la forma habitual)

Denotar por $\operatorname{supp}(h)$ ( $h$ ) el cierre del set $\left\{x:h(x)>0\right\}$.

Desde $X$ es compacto, la cubierta de la $\left\{U_\alpha\right\}_{\alpha\in A}$ contiene un número finito de subcover $U_1,\ldots,U_n$. Vamos a demostrar que podemos encontrar las funciones de $h_1,\ldots,h_n$ la satisfacción de las propiedades 1. y 2. como usted dijo y $\operatorname{supp}(h_i)\subseteq U_i$.

A continuación, se puede proceder por inducción. Voy a dejar el caso $n=2$ (uso de Urysohn del Lema, pero con conjuntos y no de puntos: Si $A,B$ son conjuntos cerrados en $X$, entonces hay algunas continua $f$ con $f|_A=1$, $f|_B=0$ y $0\leq f\leq 1$).

Ahora supongamos que el resultado es cierto para algunos $n$, y que tenemos una cubierta $U_1,\ldots,U_{n+1}$. Set$V_1=\bigcup_{i=1}^n V_i$$V_2=U_{n+1}$. Por el caso de dos funciones, no existe funciones continuas $f,g$ con $f+g=1$, $0\leq f,g\leq 1$, $\operatorname{supp}(f)\subseteq V_1$ y $\operatorname{supp}(g)\subseteq V_2=U_{n+1}$.

Ahora, podemos aplicar el resultado para una cubierta de $n$ elementos de a $\operatorname{supp}(f)$, que es cerrado en $X$ y, por tanto, un compacto Hausdorff con la inducida por la topología, con la cubierta de la $U_1,\ldots,U_n$ (o más precisamente en la intersección de con $\operatorname{supp}(f)$). A continuación, podemos encontrar $f_1,\ldots,f_n$ continua en $\operatorname{supp}(f)$, con $\sum f_i=1$, $\operatorname{supp}(f_i)\subseteq U_i$ y $0\leq f_i\leq 1$.

Set $g_i=f_if\in C(\operatorname{supp}(f))$. Entonces yo voy a dejar a usted para probar las siguientes afirmaciones:

Reclamo: $f|_{\partial\operatorname{supp}(f)}=0$, y, por tanto, $g_i|_{\partial\operatorname{supp}(f)}=0$ donde $\partial\operatorname{supp}(f)=\operatorname{supp}(f)\cap\operatorname{closure}(X\setminus\operatorname{supp}(f))$ es el límite de $\operatorname{supp}(f)$.

Reclamo: Extender $g_i$ $X$mediante el establecimiento $g_i=0$$X\setminus\operatorname{supp}(f)$. A continuación, $g_i$ es continua en a $X$ (el uso de la reivindicación anterior) y $\sum_{i=1}^n g_i=f$.

Por lo tanto, $g_1,g_2,\ldots,g_n,g_{n+1}=g$ satisfacer las propiedades deseadas.