Actualmente estoy leyendo "El fantasma de Platón" de Jeremy Gray, y me encuentro con el siguiente pasaje (capítulo 5, página 332). El caso es que me parece que contiene dos errores muy elementales que se antojan demasiado conceptuales para ser simples erratas. Estoy fuertemente espinado entre lo que me parece obvio, y lo que un autor respetable, que Grey supuestamente es, escribió. Estaría agradecido de sanar la confusión.
Thomae se interesó por cómo las funciones llegan a cero. El orden de desaparición de la función $f$ en el punto $a$ , donde $f(a) \to 0$ es la velocidad a la que $f(x)$ tiende a cero a medida que $x$ tiende a $a$ . Del dibujo de las gráficas se desprende que la función $x^2$ va a cero a medida que x tiende a cero más rápido que $x$ por ejemplo. El análisis se extiende de forma directa a la potencia racional e incluso irracional de $x$ pero Thomae observó que el logaritmo natural, la función $\ln(x)$ , va muy despacio a $-\infty$ como $x$ permanece positiva y tiende a cero, por lo que la función $\frac{1}{\ln (x)}$ va a cero muy lentamente a medida que x tiende a cero; más lentamente, de hecho, que cualquier potencia de $x$ . Hay funciones incluso más lentas, por ejemplo $\left( \frac{1}{\ln (x)} \right)^2$ y $\frac{1}{\ln ( \ln (x))}$ y Thomae pronto descubrió que tenía en sus manos una clase de funciones cuyos órdenes de desvanecimiento podían llamarse medidas, y "estas medidas constituyen un colector continuo unidimensional (en el sentido de Riemann) para la determinación de para cuya determinación no bastan todos nuestros números racionales e irracionales ordinarios".
El problema radica, por supuesto, en la nota sobre "funciones aún más lentas". Me parece que si $f(x)$ tiende a $0$ entonces $(f(x))^2$ tiende a $0$ incluso "más rápido", y seguramente no "más lento". Peor aún, $\ln ( \ln (x))$ ni siquiera está definido para $x < 1$ .
Agradecería mucho una revisión de cordura por parte de la comunidad. Pido disculpas si la pregunta es demasiado localizada.
