Si $X \times Y$ es separable, son $X, Y$ ¿Se puede separar?

Question

Sospecho que la pregunta del título es falsa, pero no se me ocurre ningún contraejemplo. La razón por la que me interesa esta pregunta tiene que ver con las distintas definiciones de "variedades generalizadas". Para algunas definiciones, sé que las variedades generalizadas de dimensión 1 y 2 son verdaderas variedades, pero creo que esto es sólo cuando suponemos que los espacios son separables/metrizables.

Answer 1

Si $X = \emptyset$ y $Y$ no es separable, entonces $X \times Y = \emptyset$ es separable. Sin embargo, este contraejemplo junto con el contraejemplo simétrico donde $Y = \emptyset$ son los únicos contraejemplos posibles.

Entonces, supongamos que $X$ y $Y$ son ambos no vacíos, y $D = \{ (x_n, y_n) \mid n \in \mathbb{N} \}$ es denso en $X \times Y$ . A continuación, afirmamos que $\pi_1(D) = \{ x_n \mid n \in \mathbb{N} \}$ es denso en $X$ . De hecho, supongamos que tenemos cualquier subconjunto abierto no vacío $U \subseteq X$ . Entonces, como $Y$ es no vacía, $\pi_1^{-1}(U)$ es un subconjunto abierto no vacío de $X \times Y$ . Desde $D$ es denso, esto implica que $(x_n, y_n) \in \pi_1^{-1}(U)$ para algunos $n$ lo que significa que $x_n \in U$ . La prueba de que $\pi_2(D) = \{ y_n \mid n \in \mathbb{N} \}$ es denso en $Y$ es similar.

Answer 2

Sí, como $X = \pi_1[X \times Y]$ y la imagen continua de un espacio separable es separable (si $f: X \to Y$ es continua y suryente y $D$ es denso en $X$ : $$Y = f[X] = f[\overline{D}] \subseteq \overline{f[D]}$$ para que $f[D]$ es denso en $Y$ la inclusión se desprende de la continuidad).

Así que $X \times Y$ separable implica $X$ separable, y utilizando la otra proyección, $Y$ también es separable. Si ambos son separables con subconjuntos densos contables $D_X$ resp. $D_Y$ entonces $D_X \times D_Y$ es contable y denso en $X \times Y$ y así $X \times Y$ es separable. Entonces tenemos la equivalencia.

Para la segunda contabilidad tenemos una prueba similar, excepto que para $X \times Y$ segundo contable implica $X$ es, usamos que $X$ se incrusta como un subespacio en el producto, y lo mismo ocurre con $Y$ .