$\mathbb{Q}$ no está abierto, no está cerrado, pero es la unión contable de conjuntos cerrados.

Question

Quiero probar que$\mathbb{Q}$ (el conjunto de números racionales) no está abierto, no está cerrado, pero es la unión contable de conjuntos cerrados. Intenté demostrar que$\mathbb{Q}$ no contiene todos sus puntos límite, lo que implicaría que no se cerró. Sin embargo, no puedo probar las otras dos cosas. Necesito poca ayuda para demostrar esto. Gracias.

Answer 1

Como cualquier vecindario$(q - \epsilon, q + \epsilon)$ de un racional$q$ contiene elementos irracionales,$\mathbb{Q}$ no tiene puntos internos. Esto implica que$\mathbb{Q}$ no está abierto. Dado que cada número irracional es el límite de una secuencia de racionales,$\mathbb{Q}$ no está cerrado (para que un conjunto se cierre, debe contener todos sus puntos límite). Ya que cada conjunto de un punto$\{x\} \subset \mathbb{R}$ está cerrado, y como$\mathbb{Q}$ es contable, tenemos eso

$$\mathbb{Q} = \bigcup_{p\in \mathbb{Q}} \{p\}$ $ es una unión contable de conjuntos cerrados.

Answer 2

$\Bbb Q$ no está cerrado porque es denso, y si un conjunto es densa y cerrada, a continuación, es igual a la de todo el espacio (en este caso, $\Bbb R$).

$\Bbb Q$ no está abierto ya sea porque abrir los conjuntos vacíos, o contener un intervalo que hace innumerables; pero $\Bbb Q$ es countably infinita por lo que no es ni vacío ni incontables.

Por último, $\Bbb Q$ es el contable de la unión de los embarazos únicos, todos los cuales están cerradas.

Curiosamente, $\Bbb Q$ no puede ser escrito como una intersección de countably muchos bloques abiertos.