Integrar

Question

Necesito ayuda para integrar$$\int{\sin^2(nx)\csc^2(x)dx}$ $ La integral de cada parte es fácil$$\int{\sin^2(nx)}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin(2nx)}{4n}+C$$ $$\int{\csc^2(x)}dx=-\cot(x)+C$ $ Luego traté de usar la integral por partes pero no logré que funcionara. También probé la calculadora Walfram, pero me devolvió una expresión muy complicada que no es lo que quería.

¿Puedes ayudar a resolver esta integración indefinida? La integral definida$$\int_{2\pi}^{N\pi}{\sin^2(nx)\csc^2(x)}dx$$ where $ N $ es un número natural grande, también es útil.

Answer 1

Esta respuesta se refiere a la integral indefinida$\displaystyle\int\sin^2(nx)\csc^2 x\ dx$.

Sugerencia 1: - Observe que,$$\displaystyle\int\cos^2(nx)\csc^2 x\ dx+\displaystyle\int\sin^2(nx)\csc^2 x\ dx=\displaystyle\int\csc^2 x\ dx$ $

PS

Para,$$\displaystyle\int\cos^2(nx)\csc^2 x\ dx-\displaystyle\int\sin^2(nx)\csc^2 x\ dx=\displaystyle\int\cos(2nx)\csc^2 x\ dx$ observe que,$\displaystyle\int\cos(2nx)\csc^2 x\ dx$ $

Sugerencia 2: - Para evaluar$$\displaystyle\int\cos(2nx)\csc^2 x\ dx=\Im \left(\int e^{2inx}\csc^2 x\ dx\right)$, también puedes usar la siguiente fórmula,$\displaystyle\int\cos(2nx)\csc^2 x\ dx$ $