¿Alguien puede explicar cómo puedo probar que o bien$\phi(t) = |\cos (t)|$ es una función característica o no? ¿Y qué variable aleatoria tiene esta función característica? Gracias por adelantado.
Respuestas
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Leyenda 1: Si una función característica es infinitamente diferenciable en cero, en todos los momentos de la correspondiente variable aleatoria son finitos.
Leyenda 2: Si en todos los momentos de una variable aleatoria son finitos, la correspondiente función característica es infinitamente diferenciable en todas partes en la línea real.
Leyenda 3: La función de $t\mapsto|\cos(t)|$ es infinitamente diferenciable en a$t=0$, pero no en todas partes en la línea real, por ejemplo, no se en $t=\pi/2$.
Ergo.
Robert Christie
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Dado que$\phi(t) = | \cos(t) |$ es periódico con el período$\pi$ e incluso, y si es válido, debe corresponder a una variable aleatoria discreta simétrica.
No es difícil establecer que: $$ | \ cos (t) | = \ frac {2} {\ pi} + \ frac {4} {\ pi} \ sum_ {m = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {m-1}} {4 m ^ 2- 1} \ cos (2 mt) $$ 
Comparando esto con$\phi_X(t) = \sum_{m=-\infty}^\infty c_m \mathrm{e}^{i t m}$, vemos que$c_4 = - \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{15}$ es negativo, por lo tanto no puede ser una probabilidad de ninguna variable aleatoria.
Anthony Cramp
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W. Feller, Introducción a la teoría de la probabilidad y aplicaciones , Volumen I, XIX.4, Teorema 1.
Una función continua$\phi$ con el período$2\pi$ es una función característica si sus coeficientes de Fourier (4.2) satisfacen$\phi_k \ge 0$ y$\phi(0) = 1$.
$$ \ phi_k = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {- ik \ zeta} \ phi (\ zeta) \, d \ zeta \ tag {4.2 } $$
