Principio de inducción matemática para demostrar el principio de buena ordenación para un conjunto de racionales.

Question

No puedo encontrar qué está mal en esta prueba.

declaración: Para cualquier conjunto de racionales hay un elemento mínimo en el conjunto.

Hipótesis: $p(k)$=Para un conjunto de k racionales, existe un elemento mínimo en el conjunto.

ahora,

Es trivial demostrar que p(1) y p(2) son verdaderos.

Ahora supongamos que $p(k)$ es verdadero. Para cada conjunto de k racionales hay un elemento mínimo en el conjunto.

Ahora comprobamos el valor de verdad de $p(k+1)$.

ya que podemos dividir el conjunto $k+1$ de racionales como el conjunto de $k$ y 1 racional.

Ahora, como sabemos que ambos tienen un elemento mínimo, entonces el menor entre ellos será el elemento mínimo en el conjunto.

Por lo tanto, $p(k) \implies P(k+1)$ y por lo tanto, usando la inducción matemática demostramos que cualquier conjunto de elementos racionales tiene un elemento mínimo.

Lo cual no es cierto para los racionales pertenecientes a (0,1).

Answer 1

Lo que estás probando es que cada conjunto finito de racionales tiene un elemento menor, por eso no funciona en el conjunto $\Bbb Q\cap (0,1)$.

Observa que tu argumento funciona incluso si el conjunto no es de racionales sino de un conjunto totalmente ordenado.

Creíste que lo habías demostrado para cualquier subconjunto numerable de $\Bbb Q$, pero, si esto fuese cierto, lo habrías demostrado para cualquier subconjunto de $\Bbb Q$ ya que $\Bbb Q$ es numerable por sí mismo.

Por favor ten en cuenta que la inducción solo puede demostrar afirmaciones sobre cosas finis, pero cualquier número finito de ellas. Por ejemplo, puedes demostrar por inducción que para cada conjunto finito de números naturales, siempre hay un elemento 'más grande', no importa si el conjunto tiene $1000$ o $10^{10^{100}}$ elementos, pero esto no sucede si el conjunto es infinito.