Triángulo de ángulos.

Question

Para $\vartriangle$ABC es dado $$\frac1{b+c}+\frac1{a+c}=\frac3{a+b+c}$$ Find the measure of angle $C$.

Este es un "desafío problema" en mi precálculo libro que me fue asignado. ¿Cómo puedo encontrar un ángulo de longitudes de los lados como este? He intentado todo lo que puedo. Creo que puede ser necesario el empleo de la ley de los cosenos o de los senos. Gracias

Answer 1

Multiplicar ambos lados por $a+b+c$ conseguir $$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}=3$$

Tenemos

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}=1$$

$$a(a+c)+b(b+c)=(a+c)(b+c)$$

$$a^2+ac+b^2+bc=ab+ac+bc+c^2$$

$$a^2+b^2=ab+c^2$$

$$a^2-ab+b^2=c^2$$

Por el coseno de la ley, tenemos $a^2-2\cos(C)ab+b^2=c^2$. Por lo tanto $\cos(C)=\frac12$, lo $C=60^\circ$.

Answer 2

Respuesta corta:

De acuerdo con el problema, la solución es única, por lo que cualquier triple de los valores que satisfacen la ecuación proporciona una solución. Vemos enseguida que $a=b=c=1$ es una solución, por tanto, el ángulo es de 60 grados.

Respuesta media.

Lo que cuenta son los cocientes entre los lados. Así, podemos asumir que el $c=1$. La ecuación es simétrica en $a$$b$, y sabemos que es único, así como la $a$ varía, $b$ varía. Podemos probar a ver si esta familia infinita de soluciones tiene una intersección con isoscele triángulos, así que pusimos $b=a$ y podemos resolver $$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+1}=\frac{3}{2a+1}$$ búsqueda de $a=b=c=1$. Por lo que el ángulo es de 60 grados.

Aviso que la cosa divertida es que $k\cdot (1,1,1)$ no es la única solución. De hecho, son infinitas. Ejemplo, $a=15$, $b=8$, $c=13$.

Answer 3

Sugerencia:

Simplificar la ecuación de a $$a^2 + b^2 - ab = c^2$$ Y el uso del coseno de la ley.