Evaluar integral con exponencial y polinomial.

Question

¿Cómo puedo mostrar que \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\frac{1}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx=\infty \end {align} para$t\neq0$.

Comencé de la siguiente manera: \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\frac{1}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx=\int_{-\infty}^0 e^{tx}\frac{1}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx+\int_{0}^\infty e^{tx}\frac{1}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx. \end {align} Aquí puedo "ver" que el integrando derecho va al infinito, y el izquierdo sería un valor real, diría, porque el integrand va a 0.

¿Hay alguna manera de evaluar estas integrales de una manera un tanto rigurosa?

Answer 1

Supongamos primero que$t>0$. Tienes$$\lim_{x\to\infty}\frac{e^{tx}}{\pi(1+x^2)}=\infty.$ $ Como el entero es positivo en todas partes, \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\frac{1}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx\geq \int_0^\infty e^{tx}\frac{1}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx=\infty. \end {align} Para$t<0$, usas ese$$\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{tx}}{\pi(1+x^2)}=\infty,$ $ y ahora \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\frac{1}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx\geq \int_{-\infty}^0 e^{tx}\frac{1}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx=\infty. \end {align}

Answer 2

Si el resultado se mantiene para todos los$t > 0$, entonces se mantiene para todos los$t < 0$ usando el$u$ - sustitución$u = -x$. Entonces podemos asumir$t > 0$. En ese caso, el teorema del valor medio da$e^{tx} > tx$ para todos$x \ge 0$. Así

PS