Mostrar f (x): = sqrt (x) es uniformemente continuo en [0,1]

Question

Mostrar$f(x):=\sqrt{x}$ es uniformemente continuo en$[0,1]$.

Lo que hice: necesito mostrar que$\forall \varepsilon>0: \exists\delta>0$ tal que
$\forall x,y\in(0,1): |x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon$

Escoger $\delta=\varepsilon^2$.

luego para$x,y\in(0,1)$ con$|x - y| < \delta$,

$|f(x)-f(y)|=|\sqrt{x}-\sqrt{y}|$

$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le|\sqrt{x}+\sqrt{y}|$

$| \ sqrt {x} - \ sqrt {y} | ^ 2 \ le | \ sqrt {x} - \ sqrt {y} || \ sqrt {x} + \ sqrt {y} | = | xy | <\ varepsilon ^ 2$

$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le\sqrt{|x-y|}<\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon$

Answer 1

Tu solución es correcta. Probablemente no le daría la máxima puntuación por no explicar por qué las desigualdades que utiliza son verdaderas.

Además, se le pidió que probara la continuidad uniforme en$[0,1]$, pero solo usó$(0,1)$ en su argumento (todavía funciona para$x=0$ o$y=0$, pero no lo hizo dilo asi.